微觀經濟學4 ：效用（Utility） - GetIt01

也是表示那些相同偏好的效用函數。

If f(u) is any monotonic transformation of a utility function that represents some particular preferences, then ... 標籤：微觀經濟學經濟學經濟學理論 微觀經濟學4：效用（Utility） 02-14 本文為筆者學習《INTERMEDIATEMICROECONOMICS》時做的翻譯與筆記，與原著內容略有出入，希望能與大家一起學習經濟學的相關知識。

在維多利亞時代，哲學家與經濟學家們總是喋喋不休地在論述「效用」（utility）是一個人整體幸福感（overallwell-being）的指標，效用被認為是一個人開心與否的數值測度。

在這種情況下，我們就很自然地認為消費者會為了他們效用的最大化去作決定，從而盡量使他們自己變得快樂。

問題的關鍵是這些傳統的經濟學家們從來沒有闡述過怎麼去測量效用的數值，那麼對於消費者不同的決定，我們要怎樣將效用數值化體現呢？正是因為有這樣或者那樣的原因，經濟學家放棄了傳統效用的觀點，反之，他們用了消費者偏好（consumerpreferences）來重新制定消費者行為的表達方式，而效用只是被視為描述（describe）這些偏好（preferences）的一種方式（way）。

經濟學家逐漸認識到，就選擇行為而言，所有與效用相關的東西都是一個消費束是否具有比另一個消費束更高的效用——而具體有多高的效用則並不重要。

Economistsgraduallycametorecognizethatallthatmatteredaboututilityasfaraschoicebehaviorwasconcernedwaswhetheronebundlehadahigherutilitythananother——howmuchhigherdidntreallymatter. 偏好原來是以效用來定義的：為了表明的消費束相對於的消費束更被偏好，則前者相比於後者擁有更高的效用，因此效用被用來描述偏好的大小。

效用函數是一種為每個可能的消費束包分配一個具體數額的方法，以便給更優選的消費束分配比不優的消費束更大的數。

Autilityfunctionisawayofassigninganumbertoeverypossibleconsumptionbundlesuchthatmore-preferredbundlesgetassignedlargernumbersthanless-preferredbundles. 用數學表達式來表達則為：只有當時，才成立。

效用分配數值的唯一重要性質就是它是怎樣訂購（order）商品束的，效用函數的大小僅對不同的消費束排序（rank）是重要的，兩個消費束的具體效用差是多少並不重要，正因為這些性質，這類的效用被稱為序數效用（ordinalutility）。

Themagnitudeoftheutilityfunctionisonlyimportantinsofarasitranksthedifferentconsumptionbundles. 如下表所示是一個案例，其表格展現了給三個消費束分配了不同的效用數值，在這個案例中，消費者在A與B中更加偏好於A，在B與C中更加偏好於B，因為在這個案例中效用函數因為A擁有的數值大於B，且B擁有的數值大於C這一性質，所以該函數表明了相同的偏好傾向。

如果代表了將效用數字分配給消費束的有一種方法，那麼把乘以2或者乘以任何一個正數也是分配效用的好方法。

將函數乘以2是單調變換（monotonictransformation）的一個例子，單調變化的意思為將原函數的自變數全部以同一方向轉變，當時，。

單調變換包含的形式為： 乘以某一個正數 加上任何數值 附加指數 其他 那麼我們可以得到的變化比率為如下形式： 考慮到分母與分子同號，所以單調變換總是擁有正的斜率，如下圖所示：正單調變換（apositivemonotonictransformation）如果是表示某些特定偏好的效用函數的任何單調變換，那麼函數也是表示那些相同偏好的效用函數。

Ifisanymonotonictransformationofautilityfunctionthatrepresentssomeparticularpreferences,thenisalsoautilityfunctionthatrepresentsthosesamepreferences. 為什麼這麼闡述呢？我們可以給出三點理由： 代表了某些特定偏好是因為只有當時，才成立。

如果是一個單調變換函數，那麼只有當成立時才成立。

所以只有當時，才成立，所以函數代表了與函數相同的偏好。

我們將上述條件總結為以下原則：效用函數的單調變換是表示與原效用函數相同的偏好的效用函數。

amonotonictransformationofautilityfunctionisautilityfunctionthatrepresentsthesamepreferencesastheoriginalutilityfunction 4.1基數效用（CardinalUtility） 在基數效用理論中，兩個不同的消費束之間的效用差異大小應該是擁有某種意義的，在現實生活中，我們能夠闡述怎麼來判別一個人偏好某一個消費束，判別的方式很簡單，我們給那個人兩個消費束，然後看他選擇哪個即可。

由此我們就知道如何給兩個消費束分配效用數值的大小，我們只需要給那個被消費者選擇的消費束分配更好的效用數值即可。

但是如果當一個人加倍偏好於某個消費束，我們該如何形容這種情況呢？ 針對這種情況，我們可以做一個假設：如果一個人擁有2個消費束可以選擇，即A與B，相對於消費束B，消費者2倍偏好於A，那麼這就代表了消費者願意支付B兩倍的價格來消費A。

同樣地，我們可以把這個成本變為等待兩倍的時間來獲得A，或者嘗試做某件事2次來獲得A等等。

雖然這些假設在一定程度上正確，但是它們並非都是完全對的，由此，我們將堅持一個純序數效用框架（wewillstickwithapurelyordinalutilityframework）。

4.2構造效用函數（constructingautilityfunction） 並不是所有的偏好都可以用效用函數來表示，例如非傳遞偏好（intransitivepreferences），但是當我們排除掉這些特殊情況後，我們就可以嘗試構造一個效用函數。

假設我們現在有一個如下圖所示的無差異曲線：從無差異曲線中構造一個效用函數不難看出，如果偏好是單調的，那麼通過原點的線必須與每個無差異曲線精確相交一次。

因此，每個消費束都得到一個標籤，而那些高無差異曲線上的消費束會得到更大的標籤——這就是實用函數所包含的全部。

Itisnothardtoseethatifpreferencesaremonotonicthenthelinethroughtheoriginmustintersecteveryindifferencecurveexactlyonce.Thuseverybundleisgettingalabel,andthosebundlesonhigherindifferencecurvesaregettinglargerlabels——andthatsallittakestobeautilityfunction. 4.3效用函數的幾個例子（SomeExamplesofUtilityFunctions） 在第三章節，我們已經闡述了一些偏好以及代表這些偏好的無差異曲線的案例，我們同樣可以使用效用函數來代表這些偏好。

假設你現在已經擁有了一個效用函數，那麼在這個效用函數的基礎上畫出無差異曲線是相對而言比較容易的，你只需要在上每隔一段距離就標註一個點，所有這些標註的點的集合被稱為水平集（levelset），其中你可以通過不同的點畫出不同的無差異曲線。

案例：從效用函數中得到無差異曲線 假設效用函數為：，那麼這時候無差異曲線長什麼樣子呢？我們知道一個典型的無差異曲線的形式為的形式，這裡可以取1，2，3等任何值，那麼無差異曲線可由下圖所示：不同數值k下的無差異曲線那麼這時候我們考慮另一個案例，如果我們得到的效用函數為，那麼這時候無差異曲線會發生怎樣的變化呢？通過數學計算我們可以得到如下的變化形式：所以現在的效用函數只是原來效用函數平方的形式，考慮到效用函數不可能出現負號，所以所代表的無差異曲線與在形狀上一致，但是無差異曲線的標籤會有所不同，原來是1，2，3，……現在是1，4，9，……但是數值9對的無差異曲線與原來數值3對應的無差異曲線是完全一樣的。

假設我們從另一個方向出發，即找到能夠代表某些無差異曲線的效用函數，這個過程就有些困難了。

這裡有兩種方式可以進行處理，第一是數學方式，第二種則是依賴直覺，即站在消費者的角度考慮他們會通過怎樣的方式做出選擇從而使效益最大化。

完全替代（PerfectSubstitutes） 還記得我們在之前案例中講到的紅色鉛筆和藍色鉛筆的案例嗎？在這個案例中，影響消費者決策的只有鉛筆的總數量，所以在這裡我們就可以用鉛筆的總數量來衡量效用值的大小，所以我們暫時把效用函數設為，那麼這麼做有效嗎？為了判斷這個函數是否有效，我們需要問自己兩個問題： 這個效用函數沿著無差異曲線是恆定的嗎？（isthisutilityfunctionconstantalongtheindifferencecurves） 它是否為更優選的消費束分配更高的標籤？（doesitassignahigherlabeltoamorepreferredbundles） 我們可以得到關於這兩個問題我們都可以回答「yes」，那麼我們就得到了一個效用函數。

當然，這絕不是我們能夠使用的唯一一個效用函數，我們也能夠使用鉛筆數量的平方來構造效用函數，即，這個函數對於完全替代商品無差異曲線的構造也同樣有效。

那麼如果消費者想要以某種比例而非簡單的1：1來用1號商品代替2號商品時，我們應該怎麼建立函數呢？舉例而言，一個消費者每放棄1個單位的1號商品，就需要得到2個單位的2號商品來作為補償，這時候，我們就可以認為1號商品對於消費者而言相比於2號商品擁有2倍的價值，這時候效用函數就為。

一般性而言，完全替代的情況下效用函數可以用如下形式來表示：在這個形式的函數中，與分別代表了1號商品與2號商品對於消費者的價值，這時候無差異曲線的斜率為。

完全互補（PerfectComplements） 我們仍然使用左鞋和右鞋作為案例進行講述，在這個案例中，消費者只會在意它擁有多少雙鞋子，所以這時候我們就需要使用鞋子的雙數來作為效用函數的數值。

消費者擁有的鞋子的雙數代表了他擁有的右鞋的最小數量（minimum），，以及左鞋的最小數量，所以這時候效用函數的形式為：。

為了驗證這個效用函數的有效性，我們隨意例舉一個消費束(10,10)，如果我們將1號商品添加1個單位就會得到(11,10)，然後我們應該還是得到一個相同的無差異曲線，因為。

同樣地，我們假設消費者不再以1：1的比例同時消費兩種商品，如果我們假設消費者在消費一杯茶的時候同時會消費2單位糖，我們把設為茶的消費數量，設為糖的消費數量，那麼這時候效用函數就會變為。

一般性而言，在完全互補的情況下，效用函數為如下的表達形式： 在這裡，與的值都為正數，他們代表了1號商品與2號商品同時被消費的比例大小。

擬線性偏好（QuasilinearPreference） 在這一小節，會出現一個我們從來沒有遇到過的無差異曲線，假設我們有一條消費者的無差異曲線，它們彼此垂直轉換，垂直轉換的意思是其無差異曲線「垂直地」移動到另一位置，如下圖所示：擬線性偏好該類無差異曲線的移動遵循的數學表達形式，對於每條無差異曲線，都是不同的常數，的數值越高，無差異曲線的位置也就越高。

在這裡標註無差異曲線的自然方法是，即垂直軸上無差異曲線的高度（theheightoftheindifferencecurvealongtheverticalaxis），由此，我們有了如下形式的效用函數：在這個函數中，效用函數對於2號商品而言是線性的，但是對於1號商品而言是非線性的，所以這個被稱為擬線性效用（quasilinearutility），含義為「部分線性」的效用。

在擬線性效用中，具體的例子為，或者。

柯布一道格拉斯偏好（Cobb-DouglasPreferences） 如下形式的效用函數被稱為柯布-道格拉斯偏好：在這個函數中，和都是用來表示消費者偏好的正數。

柯布-道格拉斯效用函數在多個案例中可以被用到，該效用函數所代表的偏好的幾何形狀如下圖所示：柯布一道格拉斯無差異曲線柯布一道格拉斯無差異曲線的形狀看上去和我們在第三章提到的凸單調無差異曲線，在我們之後學習的案例中，我們將會使用柯布一道格拉斯偏好來表示那些代數化的經濟學想法。

當然柯布一道格拉斯效用函數的單調變化可以精確地代表相同的偏好，同時如果我們要看這些變化的一系列例子，這時候就顯得非常方便。

首先，如果我們將原來的效用函數加上一個log基底，它就會變成如下形式：這個效用函數的無差異曲線與之前的柯布一道格拉斯效用函數的無差異曲線很相似，因為對數屬於單調變換。

我們來看第二個例子，假設我們擁有柯布一道格拉斯形式的效用函數，其形式如下：然後我們分別將與分別開方，變為如下形式：然後我們定義一個新的數字，且那麼我們就能把效用函數寫成如下形式：這就說明對於柯布一道格拉斯效用函數我們總是可以對其作單調性變換的，其指數之和總是為1，因此柯布一道格拉斯效用函數可以變為各種各樣的形式，我們需要在之後學習的過程中能快速辨別出這類函數及公式。

4.4邊際效用（MarginalUtility） 我們假設消費者正在使用一個消費束，那麼當我們多給這個消費者一點商品1的時候，他的效用會怎麼變化呢？這個改變的比率就被稱為邊際效用（marginalutility），我們將關於1號商品的邊際效用寫為，其計算公式如下所示： 由此可得效用變化的比率與1號商品數量的小幅度改變相關，2號商品同理。

這個定義暗示了效用的變化量只與1號商品被消費的變化量相關，因此我們可以得到如下形式的數學公式來計算效用的變化量：那麼關於2號商品，我們能得到相似的數學表達形式，如下所示：於此同時，我們還可以得到關於2號商品的效用變化量的公式：我們需要意識到邊際效用的大小取決於效用的大小（themagnitudeofamarginalutilitydependsonthemagnitudeofutility），所以我們用說明方式來衡量效用是非常重要的。

如果我們將效用乘以2，那麼邊際效用也會被乘以2，我們仍然會擁有一個完全有效的實用函數，因為它將表示相同的首選項，但是只是縮放不同（Wewouldstillhaveaperfectlyvalidutilityfunctioninthatitwouldrepresentthesamepreferences,butitwouldjustbescaleddifferently.）。

但是我們能夠從消費者選擇行為中計算出邊際效用嗎？並不能，其原因為消費者的選擇行為僅僅只能告訴我們不同消費束在他心裡的排序，邊際效用取決於我們用來反映偏好排序的特定效用函數，其大小沒有特別的意義。

（Marginalutilitydependsontheparticularutilityfunctionthatweusetoreflectthepreferenceorderinganditsmagnitudehasnoparticularsignificance.）但是，邊際效用可以被用來計算一些特殊的數值，這個我們將會在下一個小節予以講述。

4.5邊際效用與邊際替代率（MarginalUtilityandMRS） 效用函數是可以被用來測量邊際替代率的（），邊際替代率指的是在無差別曲線上某一點的斜率，它可以被理解為消費者有多大的意願將少量的2號商品代替為1號商品。

我們試著考慮以下改變每個商品的消費數額，並把它定義為，但在改變消費數量的同時同時保證總效用不變，即我們只在同一條無差別曲線上移動，那麼這時候我們可以得到一個算式：我們試著計算出無差異曲線上一點的斜率，可以得到如下形式的算式：…………………………………………………………………………（4.1）的算術符號為負號，有時候考慮到有負號的存在是十分麻煩的，因此經濟學家們通常會去計算的絕對值，這時候就不用再考慮正負號的問題了。

在的計算過程中，我們會發現一些有趣的事情：我們可以通過觀察一個人的實際行為來測量MRS，（theMRScanbemeasuredbyobservingapersonsactualbehavior），其方式就是通過發現他或她只願意留在那一點的替代比率。

（wefindthatrateofexchangewhereheorsheisjustwillingtostayput）效用函數與邊際效用函數並不是一成不變的，任何效用函數的單調變換都會給我們帶來另一個有效的效用函數，所以，如果我們把效用乘以2，那麼邊際效用也會被乘以2。

由此可得，邊際效用的大小取決於效用函數的形式，其並不取決於消費者的選擇行為。

但是邊際效用的比率（ratio）可以被用來計算邊際替代率，假設我們將效用值乘以2，這時候邊際替代率，分子分母都會乘以2，因此相互抵消，邊際替代率保持不變。

如果我們嘗試著一個效用函數作任何形式的單調變換，我們可以發現如上所述的這一現象，雖然邊際效用會因為單調變換而發生改變，但是其比率並不會發生任何變化，因此它可以用來表示偏好。

4.6通勤效用（utilityofcommuting） 效用函數是描述選擇行為的基本方式，如果消費束在消費束存在的情況下被顧客選擇了，那麼我們可以理解為擁有更高的效用，這裡我們可以使用效用函數來解釋消費者的選擇行為。

這個想法在交通領域被大量應用，我們可以通過效用函數來學習消費者的通勤行為，在大型都市中通勤者們擁有兩個選擇，一是乘坐公共交通，二是自己開車上班，所有這些選擇可以被看做不同要素的集合：旅行時間，費用，舒適度，方便性等等。

我們可以使用表示通勤所需要的時間，用來表示通勤的等待時間，等等。

那麼如果代表了自己駕駛去上班的個元素的數值，代表了乘坐公交車的個元素的數值，由此我們可以構建一個模型，在這個模型中，消費者可以選擇通勤的方式，其選擇依據就是相對於另一個元素束，他是否傾向於其中一個元素束。

與此同時，我們假設消費者對於這些要素的平均偏好可以由以下形式的數學公式算出：，在這個公式中，，等參數是未知的，同時對於這個函數的任何單調變換都可以解釋消費者的選擇行為，當然，如果我們從統計學的觀點來看這個等式，可以知道一個線性形式的公式會比較容易研究。

假設我們現在可以觀察一定數量的消費者的選擇行為，並且這些消費者可以在公共交通（公交車）與自己開車之間做選擇，於此同時，公交車有一個固定的模式，即擁有相似的通勤時間，費用等等。

針對這一參數，有很多統計的方法來測量出具體數值，而其數據來源就是來自於消費者的選擇行為。

其中有一項研究指出一個效用函數會擁有以下形式：…………………………（4.2）在這個公式中，的含義是公交車與自己開車所需要的走路總時間，的含義是行程總時間，指的是行程總費用。

在書籍Domenich-McFadden中所寫的效用函數正確地闡述了93%樣本消費者中會選擇怎樣的通勤方式。

在等式（4.2）方程中變數的係數描述了一個普通家庭對他們通勤各種特性的重視程度（describetheweightthatanaveragehouseholdplacesonthevariouscharacteristicsoftheircommutingtrips），那就是各種特性的邊際效用。

一個係數與另一個係數的比值測量了一個特徵與另一個特徵之間的邊際替代率。

（Theratioofonecoefficienttoanothermeasuresthemarginalrateofsubstitutionbetweenonecharacteristicandanother.）舉例而言，步行時間的邊際效用與總時間的邊際效用之比表明步行時間被視為一般消費者的旅行時間的大約3倍。

（theratioofthemarginalutilityofwalkingtimetothemarginalutilityoftotaltimeindicatesthatwalkingtimeisviewedasbeingroughly3timesasonerousastraveltimebytheaverageconsumer.）換句話說，就是消費者願意以贈加3分鐘總行程時間的代價來減少1分鐘步行時間。

相似地，費用與通勤時間的比率表明了消費者在這兩個要素之間的平均取捨。

這項研究表明，平均一名通勤者認為每一分鐘通勤時間價值0.0411/2.24=0.0183美元，也就是說每小時價值1.10美元。

作為對照，在1967年對於每位通勤者的評價工資為大約為2.85美元/小時。

這樣的估計效用函數對於確定是否有必要在公共交通系統中做出一些改變是非常有價值的。

（Suchestimatedutilityfunctionscanbeveryvaluablefordeterminingwhetherornotitisworthwhiletomakesomechangeinthepublictransportationsystem.）舉例而言，在上述效用函數中，解釋出行方式的重要因素之一是出行時間，那麼對於城市公共交通局而言，可以以部分成本的上升來贈加更多的巴士來降低出行時間。

那麼當我們有了一個效用函數，同時有了一個消費者的樣本，我們就可以預測哪些消費者會選擇自己乘車出行，哪些消費者會選擇乘坐公交車，通過對於消費者行為的分析，我們就可以了解公共交通的收入是否會超過政府支出。

此外，我們可以使用邊際替代率來估計每個消費者對減少的旅行時間所給予的價值（value）。

我們可以看到在Domenich-McFadden的研究中，在1967年消費者們平均認為通勤時間每小時價值1.1美元，也就是說消費者們應該樂意來支付0.37美元來減少20分鐘的通勤時間，這也表明效用函數在政府制定交通政策上擁有巨大的作用。

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