韦达定理- 维基百科，自由的百科全书

在數學上，韦达定理是一個公式(英語：Vieta's formulas)，給出多項式方程的根與係數的关系，因而又被代稱為根與係數。

該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現，並因此得 ... 韋達定理 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 在數學上，韋達定理是一個公式(英語：Vieta'sformulas)，給出多項式方程式的根與係數的關係，因而又被代稱為根與係數。

該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現，並因此得名。

韋達定理常用於代數領域。

韋達定理的實用之處在於，它提供一個不用直接把根解出來的方法來計算根之間的關係。

目次 1敘述 2證明 3特例 3.1n=2 3.2n=3 4推廣至環 5歷史 6參考資料 7參見 敘述[編輯] 設 P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyleP(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}} 是一個一元n次實(或複)係數多項式，首項係數 a n ≠ 0 {\displaystylea_{n}\neq0} ，令P的n個根為 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystylex_{1},x_{2},\dots,x_{n}} ，則根 { x i } {\displaystyle\{x_{i}\}} 和係數 { a j } {\displaystyle\{a_{j}\}} 之間滿足關係式 { x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n = − a n − 1 a n ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n ) + ( x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n ) + ⋯ + x n − 1 x n = a n − 2 a n ⋮ x 1 x 2 … x n = ( − 1 ) n a 0 a n {\displaystyle{\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots+x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots+x_{2}x_{n})+\cdots+x_{n-1}x_{n}={\dfrac{a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad\vdots\\x_{1}x_{2}\dotsx_{n}=(-1)^{n}{\dfrac{a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}} 等價的說，對任何k = 1, 2, ..., n，係數比 a n − k a n {\displaystyle{\frac{a_{n-k}}{a_{n}}}} 是所有任取k個根的乘積的和的 ( − 1 ) k {\displaystyle(-1)^{k}} 倍，即 ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n x i 1 x i 2 ⋯ x i k = ( − 1 ) k a n − k a n {\displaystyle\sum_{1\leqi_{1}