淺談E=mc^2：愛因斯坦137 歲誕辰

任何一本現代物理學或相對論教科書，無論是本科或研究生程度，都必定會講解$latex E = mc^2$ 的推導過程，涉及四維向量和微積分的數學技巧。

Skiptocontent OpenMenu Search Searchfor: Close 每年的3月14號是PiDay圓周率日，因為Pi=3.141592……。

今天同時也是愛因斯坦137歲生日。

去年3月14號，我寫了《拋開常識的學者．愛因斯坦》一文去紀念這位物理學家的136歲誕辰。

文中我介紹了愛因斯坦的前半生平。

關於他的成名之作相對論，我後來也在其他文章了作了簡單介紹，包括《你也能懂相對論》淺談狹義相對論的基本數學和《照亮相對論的光（上）、（下）》介紹了相對論與電磁學的關係。

很多讀者都跟我說，希望我寫一篇關於愛因斯坦最著名的方程式的文章。

在今天愛因斯坦137歲誕辰，我們就來看看愛因斯坦在1905當年是如何推導出這家傳戶曉的質能轉換公式吧！ 任何一本現代物理學或相對論教科書，無論是本科或研究生程度，都必定會講解的推導過程，涉及四維向量和微積分的數學技巧。

不過，原來愛因斯坦當年的推導並沒有使用這些數學工具，而是用更直接的物理去得出這結論。

我家靜止不動的兩隻喵星人。

想像有一隻喵星人。

愛因斯坦本來並非說喵星人，而是一個廣義的物理系統，只不過我選擇喵星人做這個物理系統。

這隻喵星人會發光（我們今天不討論生物學）。

喵星人在靜止不動的時候（牠們很擅長），就有 總能量=喵星人能量。

然後想像喵星人發光。

由於光是能量，所以我們就會有 總能量= 喵星人發光後的能量+光的能量。

假設喵星人放出的光總能量為。

現在隨意選擇一個方向叫做，如果我們與喵星人相對靜止，就會觀察到一半的光能量沿著方向擴散開去、另外一半的光能量 沿著方向擴散開去。

因此就有 總能量= 喵星人發光後的能量 。

現在，假設我們觀察喵星人發光的時候並非靜止不動，而是沿著與軸的一個夾角方向以均速跑。

跟據狹義相對論，我們也可以說自己是靜止的，是喵星人在沿著與軸的一個夾角方向以均速跑。

所以我們就有 總能量=喵星人能量。

注意不等於，因為喵星人的運動狀態不同。

然後，我們亦見到喵星人發光。

我們知道一道波動在不同的波源運動狀態下，其頻率會有所改變，例如我們會聽到救護車的警報聲由高頻變成低頻，這現象叫做都普勒效應(Dopplereffect)。

光也是波動的一種（電磁波動），因此也會有都普勒效應。

不過由於光以光速行進，聲波的都普勒公式並不適用，我們需要使用相對論都普勒公式： 頻率比=能量比=。

所以 總能量= 喵星人發光後的能量 。

由於能量守恆，喵星人發光前後的總能量必須相等，簡化後就有 。

現在我們來想一想，究竟這兩條公式代表什麼？首先我們會發現不見了。

這是合理的，因為 方向是可以隨意選擇的，任一 都不應該影響最後的物理結論。

然後我們能夠看出  是喵星人發光前的能量於兩個運動狀態下觀測的差別、 是喵星人發光後的能量於兩個運動狀態下觀測的差別。

因於喵星人從來沒有做過除發光外的事，這兩個能量差別和必定是喵星人在兩個運動狀態下被觀測到的動能。

把上述兩式相減，我們就得到 。

把上式右邊做泰勒展開(Taylorexpansion)，忽略所有4次方或更高冪項，就得到近似值 。

這代表什麼呢？如果 和來自動能，其差也必來自動能。

相信大家都知道動能的公式是（相對論的動能公式作泰勒展開並忽略所有4次方或更高冪項後也是），因此 。

化簡後得到 。

即是發光的能量來自喵星人的質量。

除了發光外，考慮任何能量為 的物理過程，上述推導過程都完全一樣。

因此 。

愛因斯坦，祝你生日快樂。

喵。

延伸閱讀： 《拋開常識的學者．愛因斯坦》–余海峯 《你也能懂相對論》 –余海峯 《照亮相對論的光（上）》–余海峯 《照亮相對論的光（下）》–余海峯 封面圖片：http://www.hetemeel.com/einsteinform.php Sharethis:ClicktoshareonFacebook(Opensinnewwindow)ClicktoshareonSkype(Opensinnewwindow)ClicktoshareonWhatsApp(Opensinnewwindow)ClicktoshareonTelegram(Opensinnewwindow)ClicktoshareonTwitter(Opensinnewwindow)Clicktoemailthistoafriend(Opensinnewwindow)Clicktoprint(Opensinnewwindow)Likethis:LikeLoading... Related Postnavigation PreviousPost宇宙NextPost我的堅持 6thoughtson“淺談E=mc^2：愛因斯坦137 歲誕辰” […]《淺談E=mc^2：愛因斯坦137歲誕辰》-余海峯[…] LikeLike Reply […](中)》《重力波：愛因斯坦的最後預言(下)》《淺談E=mc^2：愛因斯坦137歲誕辰》《愛因斯坦教授你是正確的》《重力波：2016年邵逸夫天文學奬》[…] LikeLike Reply […]《淺談E=mc^2：愛因斯坦137歲誕辰》《拋開常識的學者：愛因斯坦(Albert[…] LikeLike Reply […]淺談E=mc^2：愛因斯坦137 歲誕辰[…] LikeLike Reply 感恩好文。

謝謝! 文章開頭的pi值應該是3.141592……而非3.141529……。

文中的“於由能量守恆，喵星人發光前後的總能量必須相等”一句，”於由”應是“由於”的誤植。

再次感謝! LikeLikedby1person Reply 您好，感謝指正！已修改！ LikeLike Reply LeaveaReplyCancelreply Enteryourcommenthere... Fillinyourdetailsbeloworclickanicontologin: Email(required)(Addressnevermadepublic) Name(required) Website YouarecommentingusingyourWordPress.comaccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourTwitteraccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourFacebookaccount. ( Log Out /  Change ) Cancel Connectingto%s Notifymeofnewcommentsviaemail.Notifymeofnewpostsviaemail. Δ Facebook Facebook Instagram 多謝Johnny贈書，親手整嘅數學普及書+親筆簽名🤩 Simba示範黑洞吸積。

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