3.3 布林代數的基本定理與假設

布林代數是處理數位邏輯的代數運算式，布林定理(Boolean Theorems)就是根據邏輯運算 ... 對偶定理( Duality Theorem)：加法對偶定理是一變數(A)與0執行邏輯加法(OR) ... 3.3布林代數的基本定理與假設 　　布林代數是處理數位邏輯的代數運算式，布林定理(Boolean Theorems)就是根據邏輯運算原理整理而得的布林恆等式。

我們可利用這些布林恆等式來化簡複雜的布林代數運算式，而得到簡化的邏輯關係。

表3.3.1是單變數的布林恆等式，表3.3.2則是多變數的布林恆等式。

表3.3.1布林代數基本定理(單變數定理) 基本定理 加法運算 乘法運算 對偶定理 A+0=A A．1=A 吸收定理 A+1=1 A．0=0 全等定理 A+A=A A．A=A 補數定理 A+=1 A． =0 自補定理 =A 　 對偶定理( DualityTheorem)：加法對偶定理是一變數(A)與0執行邏輯加法(OR)運算，其運算結果都等於原來值(A)。

乘法對偶定理是一變數(A)與1執行邏輯乘法(AND)運算，其運算結果都等於原來值(A)。

　 加法對偶定理：A+0=A 乘法對偶定理：A．1=A 例３.1 利用真值表證明加法與乘法對偶定理，並畫出等效邏輯閘。

真值表 加法對偶定理真值表 A 0 A+0 0 0 0 1 0 1 乘法對偶定理真值表 A 1 A．1 0 1 0 1 1 1 等效閘 加法對偶定理等效閘 乘法對偶定理等效閘 　 　 吸收定理(AbsorptiveTheorem)：加法吸收定理是一變數(A)與1執行邏輯加法(OR)運算其運算結果都等於1。

乘法吸收定理是一變數(A)與0執行邏輯乘法(AND)運算，其運算結果都等於0。

加法吸收定理：A+1=1 乘法吸收定理：A．0=0 例３.２ 利用真值表證明加法與乘法吸收定理，並畫出等效邏輯閘。

真值表 加法吸收定理真值表 A 1 A+1 0 1 1 1 1 1 乘法吸收定理真值表 A 0 A．0 0 0 0 1 0 0 等效閘 加法吸收定理等效閘 乘法吸收定理等效閘　 全等定理(EqualTheorem):加法全等定理是一變數(A)與其本身執行邏輯加法(OR)運算，其運算結果都等於原來值(A)。

同理，乘法全等定理是一變數(A)與其本身執行邏輯乘法(AND)運算，其運算結果都等於原來值(A)。

加法全等定理：A+A=A 乘法全等定理：A．A=A 例３.３ 利用真值表證明加法與乘法全等定理，並畫出等效邏輯閘。

真值表 加法全等定理真值表 A A A+A 0 0 0 1 1 1 乘法全等定理真值表 A A A．A 0 0 0 1 1 1 等效閘 加法全等定理等效閘 乘法全等定理等效閘 　　 補數定理(ComplementaryTheorem):加法補數定理是一變數(A)與反函數()執行邏輯加法(OR)運算，其運算結果都等於1。

同理，乘法補數定理是一變數(A)與反函數()執行邏輯乘法(AND)運算，其運算結果都等於0。

加法補數定理：A+=1 乘法補數定理：A．=0 例３.４ 利用真值表證明加法與乘法補數定理，並畫出等效邏輯閘。

真值表 加法補數定理真值表 A A+ 0 1 1 1 0 1 乘法補數定理真值表 A A． 0 1 0 1 0 0 等效閘 加法補數定理等效閘 乘法補數定理等效閘 　　 自補定理(InvolutionTheorem):自補定理是一變數(A)經二次邏輯補數運算(NOT)後，其運算結果等於原來值(A)。

自補定理：=A 例３.5 利用真值表證明自補定理，並畫出此定理的等效邏輯閘。

真值表 自補定理真值表 A 0 1 0 1 0 1 等效閘 自補定理等效閘 表3.3.2布林代數定律與多變數定理 定律 加法運算 乘法運算 交換律 A+B=B+A AB=BA 結合律 A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C A(BC)=(AB)C=ABC 分配律 A+(BC)=(A+B)(A+C) A(B+C)=AB+AC 消去律 A+AB=A A(A+B)=A 第摩根定理 交換律(Commutativelaws):交換律是指二個變數(A、B)在執行邏輯加法(OR)運算或邏輯乘法(AND)運算時，這二個變數(A、B)的先後順序並不影響執行的結果。

加法交換律：A+B=B+A 乘法交換律：AB=BA 例３.６ 利用真值表證明加法與乘法交換律，並畫出等效邏輯閘。

真值表 輸入 加法交換律 乘法交換律 A B A+B B+A AB BA 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 等效閘 加法交換律等效閘 乘法交換律等效閘 　　 結合律(Associativelaws)：是指三個變數(A、B、C)在執行三變數邏輯加法或乘法運算時，可先執行其中二變數的邏輯加法(A+B或B+C或A+C)或乘法(AB或BC或AC)後，其結果在與另一變數(C或A或B)執行邏輯加法或乘法運算，且執行結果與直接執行三變數的邏輯加法或乘法運算相同。

加法結合律：A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C 乘法結合律：A(BC)=(AB)C=ABC 例３.７ 利用真值表證明加法與乘法結合律，並畫出等效邏輯閘。

真 值 表 輸入 加法結合律 A B C A+B (A+B)+C B+C A+(B+C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 輸入 乘法結合律 A B C AB (AB)C BC A(BC) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 等 效 閘 加法結合律等效閘 乘法結合律等效閘 　　 分配律(Distributivelaws):加法分配律是指一變數(A)與多變數的積項(BC)之和(A+BC)，可以被展開為和項之積((A+B)(A+C))。

乘法分配律是指一個變數(A)與多個變數和項(B+C)之積(A(B+C))，可以被展開為積項之和(AB+AC)。

一般代數具有乘法分配律，而布林代數則具有加法分配律與乘法分配律。

加法分配律：A+(BC)=(A+B)(A+C) 乘法分配律：A(B+C)=AB+AC 例３.８利用真值表證明加法與乘法分配律，並畫出等效邏輯閘。

真 值 表 輸入 加法對乘法分配律 A B C BC A+(BC) A+B A+C (A+B)(A+C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 輸入 乘法對加法分配律 A B C B+C A(B+C) AB AC AB+AC 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 等 效 閘 加法對乘法分配律等效閘 乘法對加法分配律等效閘 　　 消去律(Eliminationlaws):加法消去律是指一變數(A)與含有該變數的多項變數積項（AB）之和(A+AB)等於該變數值(A)。

乘法消去律是指一個變數(A)與含有該變數的多變數和項(A+B)之積A(A+B)等於該變數值(A)。

加法消去律：A+AB=A 乘法消去律：A(A+B)=A 例３.９利用真值表與前述定理證明加法消去律與乘法消去律。

真值表 輸入 加法消去律 乘法消去律 A B AB A+AB=A A+B A(A+B)=A 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 證明一 A+AB =A．１+AB 利用乘法對偶定理 =A(1+B) 利用乘法對加法分配律 =A(B+1) 利用加法交換律 =A．1 利用加法吸收定理 =A 利用乘法對偶定理 證明二 A(A+B) =(A+1)(A+B) 利用加法對偶定理 =A+(1．B) 利用加法對乘法分配律 =A+(B．1) 利用乘法交換律 =A+1 利用乘法吸收定理 =A 利用加法對偶定理 　　 第摩根定理(Demorgan』sTheorems):第摩根是偉大的邏輯學家和數學家，他提出布林代數中二個重要的定理；第一定理是和的補數()等於補數的積()，第二定理是積()的補數等於補數的和()。

第摩根定理不只適用於二變數，同時它也適用於多變數。

第摩根第一定理： 第摩根第二定理： 例３.１０利用真值表證明第摩根第一定理與第摩根第二定理。

真 值 表 第摩根第一定理 A B 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 第摩根第二定理 A B 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 等效閘 第摩根第一定理 第摩根第二定理