單調函數 - Calculus in One Variable (Chinese) 單變數微積分

一個函數若是漸增或者漸減，統稱為單調函數(monotonic function)。

例如線性函數、指數函數與對數函數，都是單調函數。

一個n 階多項式的曲線，至多 ... 單調函數 如果函數 隨著自變量x的增加而增加（或者持平），也就是 我們說這個函數漸增(increasing)或不遞減(non-decreasing)。

更嚴格一點，如果 我們說 嚴格漸增(strictlyincreasing)。

除非特別需要強調，否則我們通常不說「嚴格」。

以類似的定義，我們說函數漸減(decreasing)或不遞增(non-increasing)， 或者嚴格漸減(strictlydecreasing)。

因為非常類似，就不再贅述了。

例如x2在 區間內漸減，而在 區間內漸增，如下圖。

y=x^2   我們看到，當函數漸減的時候，曲線下降；漸增時，曲線上升。

注意，我們一律順著自變量座標軸的方向（通常是從左到右）解讀函數曲線。

當底數a>1的時候，指數函數 與對數函數 都是漸增的。

但是當底數a<1的時候， 它們都是漸減的。

一個函數如果不停地嚴格漸增，未必會趨於無窮大； 因為有可能有水平漸近線。

如下圖。

  同理，不停地嚴格漸減，也不一定會趨於負無窮大。

一個函數若是漸增或者漸減，統稱為單調函數(monotonicfunction)。

例如線性函數、指數函數與對數函數，都是單調函數。

一個n階多項式的曲線，至多有n-1次轉折， 也就至多可以將實數分為n段，在每一段內都是單調的。

注意，是「至多」，所以n階多項式還是有可能是單調函數。

參考以下兩個範例，它們都是三階多項式，一個轉折兩次 (漸增、漸減、漸增)，一個沒有轉折(單調)。

y=x^3+x^2-x+2 y=x^3+x^2+x+1     警告 這一節提到的形容詞：漸增、嚴格漸增、漸減、嚴格漸減、不遞增、不遞減、單調， 都不是統一的專有詞彙。

其他作者可能用了同樣的詞卻給定不同的意義。

讀者需要小心檢查這些詞在不同書本裡面的定義。

習題 討論線性函數的漸增或漸減性質與其斜率的關係。

設n是正整數時，討論冪函數xn 的漸增或漸減情形。

討論以下曲線的漸增或漸減情形。

  以下曲線有一條水平漸近線(y=1)，和x軸有一個交點(0,0)。

請猜想它是什麼函數？（提示：這一題其實有非常多種可能，而其中之一是有理函數， 分子與分母都是二階多項式。

）