微观经济学(1): 偏好、行为选择 - 知乎专栏

(1) 违背Completeness: Agent 可能从未见过某个alternative, 无法给出偏好关系. (2) 违背Transitivity: 传递性假设很强, 要求强偏好关系( ≻ \succ)不能循环，循环只能 ... 首发于模块1:高级宏微观经济学无障碍写文章登录/注册一、偏好理论1.1Def偏好关系\succsim、严格偏好\succ、无差异偏好\sim设选择空间(SetofAlternative)X上存在二元关系\succsim\subsetX\timesX,称为偏好关系.(1)定义binarypair(x,y)\in\succsim为“x\text{isatleastasgoodas}y”,记作x\succsimy.设X上偏好关系\succsim,取x\succsimy,则偏好关系可分为两种互斥子情况:严格偏好、无差异(2)当x\succsimy且y\not\succsimx,称"x\text{isstrictlypreferredto}y"(严格偏好).记作x\succy;(3)当x\succsimy且y\succsimx,称"x\text{isindifferentto}y".记作x\simy.1.2Def理性偏好设X上有偏好关系\succsim且满足：(1)Completenessof\succsim:\forallx,y\inX总有如下情况成立:(a)"x\succsimy"或(b)"y\succsimx"或(c)"y\succsimx且x\succsimy".若定义对\precsim:=\{(x,y)\inX\timesX|(y,x)\in\succsim\},则完备性等价于\succsim\cup\precsim=X\timesX.显然,由于偏好关系有且仅有两种子情况:严格偏好、无差异,则结合完备性,有:x\succsimy\\left\{\begin{array}.y\not\succsimx\Leftrightarrowx\succy\\y\succsimx\Leftrightarrowx\simy\end{array}\right.\quady\succsimx\\left\{\begin{array}.x\not\succsimy\Leftrightarrowy\succx\\x\succsimy\Leftrightarrowy\simx\end{array}\right.则\boxed{\text{Completeness}\Leftrightarrow\forallx,y\inX,x\succy\text{or}x\simy\text{or}y\succx\Leftrightarrowx\succy\text{or}y\succsimx}.(2)Transitivityof\succsim:\forallx,y,z\inX,若x\succsimy,y\succsimz\Rightarrowx\succsimz.则称满足完备性和传递性的\succsim为理性偏好(Rationality).1.3Lemma理性偏好中循环组各元素间无差异若x\succsimy,y\succsimz,z\succsimx\Rightarrowx\simy\simz.则有推论:严格偏好关系不能循环,否则与无差异矛盾!证:由传递性,x\succsimy\succsimz\succsim|x\succsimy\succsimz\Rightarrowy\succsimx,z\succsimy,z\succsimx.显然x\simy\simz.1.4Thm理性偏好其它性质对于理性偏好\succsim有如下性质:(1)\succsim,\sim的reflexivity:x\succsimx;x\precsimx;x\simx证:设(x,x)\in\succsim\Rightarrow(x,x)\in\precsim.则x\simx,则x\succsimx;x\precsimx.(2)\sim的transitivity:如果x\simy,y\simz,则x\simz.证:x\simy,y\simz\Leftrightarrowx\succsimy,y\succsimz;z\succsimy,y\succsimx,由\succsim的transitivity,x\succsimz,z\succsimx.(3)\succ的irreflexive:x\not\succx证：反证,如果x\succx,则由完备性x\not\precsimx与x\simx矛盾！(4)\succ的transitivity:如果x\succy,y\succz,则x\succz.证：反证法:假设x\not\succz则由完备性知z\succsimx.则由引理1.3必有x\simy\simz,则与x\succy,y\succz矛盾！(5)单个严格即严格:x\succy\succsimz\Rightarrowx\succz;x\succsimy\succz\Rightarrowx\succz证：显然由传递性x\succsimz.则反证法设x\not\succz,即z\succsimx,则有传递性y\succsimz\succsimx与x\succy矛盾！1.6Example偏好非理性的举例(1)违背Completeness:Agent可能从未见过某个alternative,无法给出偏好关系.(2)违背Transitivity:传递性假设很强,要求强偏好关系(\succ)不能循环，循环只能在无差异关系(\sim)中：例1.设X=\{a,b,c\}上存在三个agents的严格偏好\succ_1:(a,b,c),\succ_2:(b,c,a)\succ_3:(c,a,b).则定义majorityvotingsystem\succ:a\succb:\succ_1,\succ_3\\b\succc:\succ_1,\succ_2\\c\succa:\succ_2,\succ_3出现循环.例2.设红色光谱从深到浅为\{a_1,a_2,\cdotsa_n\}.假设任意相邻颜色a_i\sima_{i+1},但是a_1\succa_n.此时由\sim的传递性，a_1\sima_n,显然与a_1\succa_n矛盾.二、显示偏好:以选择行为为基础2.1DefChoiceBehaviorandStructure(1)仍设X为选择空间.取集族\boxed{\mathcal{B}\subset2^X},则\mathcal{B}可以理解成allbudgetsetsprovidedtotestobservetheunderlyinpreference.(2)设集值函数\boxed{C:\mathcal{B}\to2^X}且C满足:\boxed{\forall\varnothing\neqB\in\mathcal{B},\varnothing\neqC(B)\subsetB},则C称为\mathcal{B}上的ChoiceBehavior.即C(B)表示从任意一组非空选择集B中选出一个子选择集C(B)\subsetB的行为.则称\boxed{(\mathcal{B},C(\cdot))}整体为一个ChoiceStructure.注意:a)显然C(B)\subsetB并不一定使C(B)\in\mathcal{B},例:X=\{x,y,z\},\mathcal{B}=\{\{x,y,z\},\{y,z\}\},可赋C(\{x,y,z\})=\{x,z\}\subset\{x,y,z\};b)集值不为单点集,意味着长时间尺度上选择多样性.2.2Def显示偏好关系可以以ChoiceStructure对所有\mathcal{B}中的binarypair作比较,构建一个偏好,称作显示偏好(RevealedPreferenceRelation):取(\mathcal{B},C(\cdot))为一组ChoiceStructure(行为结构):设\boxed{\forallx,y\inX,s.t.{\color{red}{\exists}}B\in\mathcal{B},s.t.x,y\inB}.定义x\succsim^*y\Leftrightarrow^{def}\boxed{x\inC(B)};定义x\succ^*y\Leftrightarrow^{def}\boxed{x\inC(B),y\notinC(B)}.(显然等价于x\succsim^*y且y\not\succsim^*x)称\succsim^*为\text{RevealedPreferenceRelationderivedfrom}(\mathcal{B},C(\cdot));称x\succsim^*y为“x\text{isrevealedatleastasgoodas}y";称x\succ^*y为“x\text{isstrictlyrevealedpreferredto}y".2.3Def弱显示偏好公理设(\mathcal{B},C(\cdot))为一组ChoiceStructure.若(\mathcal{B},C(\cdot))满足:“当\forallx,y,s.t.{\color{red}{\exists}}B\in\mathcal{B},s.t.x,y\inB,有x\inC(B)时(即x\succsim^*y时),则能保证{\color{red}{\forall}}B'\in\mathcal{B},s.t.x,y\inB',当y\inC(B')\Rightarrowx\inC(B')”,则称(\mathcal{B},C(\cdot))满足WeakAxiomofRevealedPreference(WA).理解:(1)ifxiseverchosenwhenyisavailablethenxmustalwaysbechosenwhenyischosen.即WA\Leftrightarrow^{def}若x\succsim^*y则y\not\succ^*x(后面证明),即对显示偏好选择的完备性作出一定假设;(2)不满足WA的例子:\left(\mathcal{B},C_{2}(\cdot)\right)\text{with}C_{2}(\{x,y\})=\{x\}\text{and}C_{2}(\{x,y,z\})=\{x,y\},则C_2(\{x,y\})=\{x\}违反了WA(C_{2}(\{x,y\})至少要包含y,即取coarsement).2.4Prop使用\succsim^*语言重新表述WA按\succsim^*可重新表述WA:WA\Leftrightarrow^{def}若x\succsim^*y则y\not\succ^*x,即满足一定完备性.证:设x\succsim^*y,WA等价于:对\forallB',s.t.x,y\inB',当y\inC(B’)时必有x\inC(B'),即逆否对\forallB',s.t.x,y\inB',当x\notinC(B’)时必有y\notinC(B'),即等价于对\forallB',s.t.x,y\inB',要么x\inC(B'),要么y\notinC(B’),即逆否对\forallB',s.t.x,y\inB',不可x\notinC(B')\landy\inC(B’),即y\not\succ^*x.三、偏好诱导的选择行为：Rationality\RightarrowWA偏好可诱导出一个选择结构的行为上:按照偏好最大方式筛选3.1Def理性偏好最大化的选择行为设agent在X上存在偏好关系\succsim.\boxed{\forall\varnothing\neqB\subsetX},定义集值函数C^*(B;\succsim):=\{x^*\inB|\forally\inB,x^*\succsimy\}称C^*(\cdot;\succsim)为由\succsim生成的"偏好最大化"的选择行为(PreferenceMaximizingBehavior).注意：C^*(B;\succsim)的取值可以非单点集也可以是空集(B本身可能存在循环).3.2Prop有限选择空间上理性偏好的最大化选择行为集值非空设agent在有限集X上存在理性偏好关系\succsim.则\forall\varnothing\neqB\subsetX\RightarrowC^*(B,\succsim)\neq\varnothing.证：任取B\subsetX.设Card(B)=n