機率中賭博輸光問題的分析

機率中賭博輸光問題的分析. 問題: 甲乙二人進行一次一元，不輸光不停止的賭博，甲原有m 元本錢，乙原有n 元本錢，甲贏一次的機率為p ，乙贏一次的機率為q，問甲將乙贏 ...                                            機率中賭博輸光問題的分析 問題: 甲乙二人進行一次一元，不輸光不停止的賭博，甲原有m 元本錢，乙原有 n 元本錢，甲贏一次的機率為 p，乙贏一次的機率為 q，問甲將乙贏光的機率為多少?   這個問題使筆者想起二十多年前數學傳播中的一個“醉漢回家”問題，題目是一個醉漢喝得不知方向，向前走一步的機率為  p，後退一步的機率當然就是 1-p，醉漢距離家有 n步，但後方 m步有懸崖，則醉漢摔死的機率為多少?     這個機率問題並不簡單，它不能以一般機率方法(分路徑討論)來求機率，因為路徑有無限多種，所以必須用另外的方法解決 考慮路徑 a到b，x為介於 a到b  之間的整數  設 表示目前在點而到達b的機率(讓乙輸光光)   我們還知道  (甲先輸光，那贏光乙的機率=0)                          (已經讓乙輸光了，那贏光乙的機率=1)                      (下一步只有這兩條路，不是輸就是贏)                                                                                                  那麼                                                                                                                                                                    :                                                          :                                                                                        為了方便，我令                                    得       現在列出下列式子在相加                                                                                                                                    :                                                          :                        +         __________________________________________________________　                                           又因                        則    我們求出了 這個公式套用至前面的問題        故問題的答案為     以圖形表示(縱軸表示贏光乙的機率,橫軸表目前甲的本錢) 　 藍線代表p =0.6紅線代表p接近0.5 黑線代表p=0.4 三線交會處的x座標為m+n