等差数列- 维基百科，自由的百科全书

等差数列，又名算术数列（英語：Arithmetic sequence），是数列的一种。

在等差数列中，任何相邻两 ... 等差數列求和的公式如下： ... 公式證明如下：. 将等差數列和写作 ... 等差数列 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 等差数列，又名算术数列（英語：Arithmeticsequence[註1]），是数列的一种。

在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为公差（commondifference）。

例如数列： 3,5,7,9,11,13,... 就是一个等差数列。

在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公差都相等。

目录 1性質 2等差數列和 3等差数列的一些其他性质 4等差数列积 5参见 6注释 7参考文献 性質[编辑] 如果一个等差数列的首项記作a，公差記作d，那么该等差数列第n项an的一般項为： a n = a + ( n − 1 ) d {\displaystylea_{n}=a+(n-1)d} 換句話說，任意一個等差数列{an}都可以寫成 { a , a + d , a + 2 d , ⋯ , a + ( n − 1 ) d } {\displaystyle\{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots\,,\,\,a+(n-1)d\}} 在一個等差數列中，給定任意兩相連項an+1和an，可知公差 d = a n + 1 − a n {\displaystyled=a_{n+1}-a_{n}} 給定任意兩項am和an，則有公差 d = a m − a n m − n {\displaystyled={\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}}} 此外，在一個等差数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之和，為原來該項的兩倍。

舉例來說，a1+a3=2a2。

更一般地說，有： a n − 1 + a n + 1 = 2 a n {\displaystylea_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}} 證明如下： a n − 1 + a n + 1 = [ a + ( n − 2 ) d ] + ( a + n d ) = 2 a + ( 2 n − 2 ) d = 2 [ a + ( n − 1 ) d ] = 2 a n {\displaystyle{\begin{aligned}a_{n-1}+a_{n+1}&=[a+(n-2)d]+(a+nd)\\&=2a+(2n-2)d\\&=2[a+(n-1)d]\\&=2a_{n}\\\end{aligned}}} 證畢。

從另一個角度看，等差數列中的任意一項，是其前一項和後一項的算術平均： a n = a n − 1 + a n + 1 2 {\displaystylea_{n}={\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}} 此結果從上面直接可得。

如果有正整數m,n,p,q，使得 m + n = p + q {\displaystylem+n=p+q} ，那么则有： a m + a n = a p + a q {\displaystylea_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}} 證明如下： a m + a n = [ a + ( m − 1 ) d ] + [ a + ( n − 1 ) d ] = 2 a + ( m + n − 2 ) d = 2 a + ( p + q − 2 ) d = [ a + ( p − 1 ) d ] + [ a + ( q − 1 ) d ] = a p + a q {\displaystyle{\begin{aligned}a_{m}+a_{n}&=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d]\\&=2a+(m+n-2)d\\&=2a+(p+q-2)d\\&=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d]\\&=a_{p}+a_{q}\\\end{aligned}}} 由此可將上面的性質一般化成： a n − k + a n + k = 2 a n {\displaystylea_{n-k}+a_{n+k}=2a_{n}} a n = a n − k + a n + k 2 {\displaystylea_{n}={\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}} 其中k是一個小於n的整數。

給定一個等差數列 { a n } {\displaystyle\{a_{n}\}} ，則有： { b + a n } {\displaystyle\{b+a_{n}\}} 是一個等差數列。

{ b ⋅ a n } {\displaystyle\{b\cdota_{n}\}} 是一個等差數列。

{ b a n } {\displaystyle\{b^{a_{n}}\}} 是一個等比數列。

{ b a n } {\displaystyle\{{\frac{b}{a_{n}}}\}} 是一個等諧數列。

從等差數列的一般項可知，任意一個可以寫成 a n = p + q n {\displaystylea_{n}=p+qn} 形成的數列，都是一個等差數列，其中公差d=q，首項a=p+q。

等差數列和[编辑] 一個等差數列的首n項之和，稱為等差数列和（sumofarithmeticsequence）或算術級數（arithmeticseries），記作Sn。

舉例來說，等差數列{1,3,5,7}的和是1+3+5+7=16。

等差數列求和的公式如下： S n = n 2 ( a + a n ) = n 2 [ 2 a + ( n − 1 ) d ] = a n + d ⋅ n ( n − 1 ) 2 {\displaystyle{\begin{aligned}S_{n}&={\frac{n}{2}}\,(a+a_{n})\\&={\frac{n}{2}}[2a+(n-1)d]\\&=an+d\cdot{\frac{n(n-1)}{2}}\end{aligned}}} 等差数列和在中文教科書中常表达为: 一个等差数列的和，等于其首项与末项的和，乘以项数除以2。

公式證明如下： 将等差數列和写作以下两种形式： S n = a + ( a + d ) + ( a + 2 d ) + ⋯ + [ a + ( n − 2 ) d ] + [ a + ( n − 1 ) d ] {\displaystyleS_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots+[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]} S n = [ a n − ( n − 1 ) d ] + [ a n − ( n − 2 ) d ] + ⋯ + ( a n − 2 d ) + ( a n − d ) + a n {\displaystyleS_{n}=[a_{n}-(n-1)d]+[a_{n}-(n-2)d]+\dots+(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}} 将两公式相加来消掉公差d，可得   2 S n = n ( a + a n ) {\displaystyle\2S_{n}=n(a+a_{n})} 整理可得第一種形式。

代入 a n = a + ( n − 1 ) d {\displaystylea_{n}=a+(n-1)d} ，可得第二種及第三種形式。

從上面的第三種形式展開可見，任意一個可以寫成 S n = p n + q n 2 {\displaystyleS_{n}=pn+qn^{2}} 形成的數列和，其原來數列都是一個等差數列，其中公差d=2q，首項a=p+q。

等差数列的一些其他性质[编辑] 如果 m + n = p + q {\displaystylem+n=p+q} ，那么对于等差数列{ a n {\displaystylea_{n}} }，则有： a m + a n = a p + a q {\displaystylea_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}} 当m≠n时，有 S m + n = ( S m − S n ) ( m + n ) m − n {\displaystyleS_{m+n}={\frac{(S_{m}-S_{n})(m+n)}{m-n}}} 证明如下： S m + n = a ( m + n ) + ( m + n ) ( m + n − 1 ) d 2 {\displaystyleS_{m+n}=a(m+n)+{\frac{(m+n)(m+n-1)d}{2}}} S m + n ( m − n ) m + n = a ( m − n ) + ( m 2 − n 2 − m + n ) d 2 {\displaystyle{\frac{S_{m+n}(m-n)}{m+n}}=a(m-n)+{\frac{(m^{2}-n^{2}-m+n)d}{2}}} S m + n ( m − n ) m + n = a m + m ( m − 1 ) d 2 − a n − n ( n − 1 ) d 2 = S m − S n {\displaystyle{\frac{S_{m+n}(m-n)}{m+n}}=am+{\frac{m(m-1)d}{2}}-an-{\frac{n(n-1)d}{2}}=S_{m}-S_{n}} S m + n = ( S m − S n ) ( m + n ) m − n {\displaystyleS_{m+n}={\frac{(S_{m}-S_{n})(m+n)}{m-n}}} 等差数列积[编辑] 一個等差數列的首n項之積，稱為等差数列積（productofarithmeticsequence），記作Pn。

舉例來說，等差數列{1,3,5,7}的積是1×3×5×7=105。

等差数列積的公式较為复杂，須以Γ函數表示： P n = d n ⋅ Γ ( a d + n ) Γ ( a d ) {\displaystyleP_{n}=d^{n}\cdot{\frac{\Gamma({\frac{a}{d}}+n)}{\Gamma({\frac{a}{d}})}}} 證明如下： P n = a ⋅ ( a + d ) ⋅ ( a + 2 d ) ⋅ ⋯ ⋅ [ a + ( n − 1 ) d ] = d n ⋅ ( a d ) ⋅ ( a d + 1 ) ⋅ ( a d + 2 ) ⋅ ⋯ ⋅ [ a d + ( n − 1 ) ] = d n ⋅ ( a d ) n ¯ = d n ⋅ Γ ( a d + n ) Γ ( a d ) {\displaystyle{\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot(a+d)\cdot(a+2d)\cdot\cdots\cdot[a+(n-1)d]\\&=d^{n}\cdot\left({\frac{a}{d}}\right)\cdot\left({\frac{a}{d}}+1\right)\cdot\left({\frac{a}{d}}+2\right)\cdot\cdots\cdot\left[{\frac{a}{d}}+(n-1)\right]\\&=d^{n}\cdot{\left({\frac{a}{d}}\right)}^{\overline{n}}\\&=d^{n}\cdot{\frac{\Gamma({\frac{a}{d}}+n)}{\Gamma({\frac{a}{d}})}}\\\end{aligned}}} 這裡的 x n ¯ {\displaystylex^{\overline{n}}} 为x的n次上升阶乘幂，例子如 1.1 3 ¯ = 1.1 × 2.1 × 3.1 {\displaystyle1.1^{\overline{3}}=1.1\times2.1\times3.1} 。

使用上面的例子，對於數列{1,3,5,7}： P 4 = 2 4 ⋅ Γ ( 1 2 + 4 ) Γ ( 1 2 ) = 16 ⋅ 11.6317 … 1.77245 … = 105 {\displaystyle{\begin{aligned}P_{4}&=2^{4}\cdot{\frac{\Gamma({\frac{1}{2}}+4)}{\Gamma({\frac{1}{2}})}}\\&=16\cdot{\frac{11.6317\dots}{1.77245\dots}}\\&=105\end{aligned}}} 結果相等。

参见[编辑] 序列 數列 級數 算術級數 算術平均 等比數列 等諧數列 注释[编辑] ^也有人使用arithmeticprogression 参考文献[编辑] Bhardwaj,S.,Abiy,T.,Kulkarni,O.,etal."GeometricProgressions."FromBrilliant.https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/（页面存档备份，存于互联网档案馆）. Weisstein,EricW."GeometricSequence."FromMathWorld--AWolframWebResource.http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）. Weisstein,EricW."GeometricSeries."FromMathWorld--AWolframWebResource.http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）. 查论编序列與級數算術序列發散級數1+1+1+1+… ·1+2+3+4+… ·無窮算術級數幾何序列收斂級數1/2−1/4+1/8−1/16+… ·1/2+1/4+1/8+1/16+… ·1/4+1/16+1/64+1/256+…發散幾何級數  1+1+1+1+… ·1+2+4+8+… ·1−2+4−8+… ·1−1+1−1+… ·2的冪 ·10的冪  超幾何級數廣義超幾何函數 ·矩陣參數的超幾何函數（英语：Hypergeometricfunctionofamatrixargument） ·超幾何級數 ·橢圓超幾何級數（英语：Elliptichypergeometricseries） ·黎曼微分方程（英语：Riemann'sdifferentialequation）整數序列整數數列列表 ·階乘 ·斐波那契數列 ·等諧數列 ·三角形數 ·立方數 ·平方數 ·多邊形數 ·五邊形數 ·六邊形數 ·七邊形數 ·八邊形數 ·盧卡斯數其他序列發散級數1−2+3−4+… ·1−1+2−6+24−120+⋯ 取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=等差数列&oldid=72005135” 分类：​序列隐藏分类：​含有英語的條目 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 在其他项目中 维基共享资源 其他语言 AfrikaansالعربيةAzərbaycancaБеларускаяБългарскиবাংলাBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisGaeilgeGalegoעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarՀայերենBahasaIndonesiaIdoItaliano日本語ქართულიҚазақша한국어КыргызчаLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംBahasaMelayuनेपालीNederlandsNorsknynorskਪੰਜਾਬੀPolskiPiemontèisPortuguêsRomânăРусскийСахатылаSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்ไทยТатарча/tatarçaУкраїнськаOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệt吴语粵語 编辑链接