引力势能公式是如何推出来的？ - 知乎

为其他答案做一个补充：我认为引力势能公式中的负号很值得讨论，因为它在推导中循环往复地出现、消失。

考虑这样一个情境：一天体m在中心天体M的引力作用下由无穷远处 ... 物理学力学引力经典力学势能引力势能公式是如何推出来的？关注者14被浏览53,322关注问题​写回答​邀请回答​好问题1​添加评论​分享​7个回答默认排序志向在东方要把整个社会作为自己的工厂。

​关注100人赞同了该回答为其他答案做一个补充：我认为引力势能公式中的负号很值得讨论，因为它在推导中循环往复地出现、消失。

考虑这样一个情境：一天体m在中心天体M的引力作用下由无穷远处移动至A点，引力方向与天体运动方向相同——均指向M。

模型示意图，虚线处为零势能点类比“重力势能减小（变化量为负），重力做正功（功为正）”的物理事实，引力做的正功为W_{G}=-\DeltaE_{p}第一次出现负号，源于功能关系。

鉴于将m从无穷远处拉至A的过程中，M与m的间距不断减小，万有引力不断增大，是变力。

故借助积分处理引力（变力）做功，从无穷远处（势能零点）向A点运动时，万有引力做正功问题来了，我们如何求W_{G}？根据功的定义式：W=\vecF·\vecx=\left|\vecF\right|\left|\vecx\right|\cos\theta先关注微元再整体思考，可以得到，dW_{G}=\frac{GMm}{r^2}(-dr)\cos0°W_{G}=\int_{\infty}^{r_{A}}\frac{GMm}{r^2}(-dr)\cos0°但是为什么这里\left|\vecx\right|=-dr呢？根据定积分的定义，这里dr=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{r_{A}-r_{\infty}}{n}}。

因为无穷大不好直接介入计算，所以我们用r_{\infty}代表一个很大很大的、确定的r值。

很明显r_{A}\llr_{\infty},dr<0。

而\left|\vecx\right|是向量的模长，必须大于零。

这就是第二处负号的由来了。

高中数学课本中对定积分的定义回到刚才的推导，W_{G}=\int_{\infty}^{r_{A}}\frac{GMm}{r^2}(-dr)W_{G}=\int_{r_{A}}^{\infty}\frac{GMm}{r^2}dr(负号移到积分外，等价于交换上下限)W_{G}=GMm\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_{A}}^{\infty}(第三次：被积函数的原函数中自带负号，作差时会被消去)W_{G}=GMm\left[0-(-\frac{1}{r_{A}})\right](反常积分的运算)W_{G}=\frac{GMm}{r_{A}}（求出来正好是正值，符合“引力做正功”的物理事实）由于W_{G}=-\DeltaE_{p}=-(E_{A}-0)=-E_{A}即E_{A}=-\frac{GMm}{r_{A}}…………………………还是功能关系里的负号。

由此可得，两天体相距为r时，以无穷远处为零势能点，引力势能为：E_{p}=-\frac{GMm}{r}在整个的推导过程当中，负号不停地出现、被消掉、再出现、再被抵消，这可能是引力势能推导过程中的一个难点和关键点。

编辑于2021-10-1816:32​赞同100​​33条评论​分享​收藏​喜欢收起​Jaysny无知识的热心，犹如在黑暗中远征。

​关注1人赞同了该回答势能的定义：物体在某特定位形的势能在数量上等于将物体从初始位形没有加速度地改变到此位形时，外界克服物体抗力所作的功，也就是物体抗力在此过程中所作的功取负值。

E_p=-W=-\int_{s_0}^{s}F\cdot{ds}\\s_0为零势能点理解了这些，就可立刻得到重力势能了E_p=-\int_{\infty}^{r}{\frac{GMm}{r^2}dr}=\frac{GMm}{r}\\对于重力场，无穷远点处重力势能为零；重力向量与半径向量的夹角为零。

编辑于2021-06-1315:07​赞同1​​添加评论​分享​收藏​喜欢收起​