立方體- 維基百科，自由的百科全書

在幾何學中，立方體，是由6個正方形面組成的正多面體，故又稱正六面體、正方體或正 ... 都具有相似的性質（如二面角都是90°、有類似的超體積公式，即Vn-cube=an等）。

立方體 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋   此條目的主題是幾何圖形立方體。

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正六面體(按這裡觀看旋轉模型)類別正多面體對偶多面體正八面體識別名稱正六面體參考索引U06,C18,W3數學表示法施萊夫利符號{4,3}威佐夫符號（英語：Wythoffsymbol）3|24性質面6邊12頂點8歐拉特徵數F=6,E=12,V=8（χ=2）二面角90°組成與佈局面的種類正方形面的佈局（英語：Faceconfiguration）6個{4}頂點圖4.4.4對稱性對稱群Oh特性正凸環帶多面體圖像 4.4.4（頂點圖） (展開圖) 閱論編 在幾何學中，立方體，是由6個正方形面組成的正多面體，故又稱正六面體、正方體或正立方體。

它有12條稜（邊）和8個頂（點），是五個柏拉圖立體之一。

立方體是一種特殊的正四稜柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。

立方體具有正八面體對稱性（英語：Octahedralsymmetry），即考克斯特BC3對稱性，施萊夫利符號{4,3}，考克斯特-迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkindigram），其對偶多面體為正八面體。

目次 1性質 1.1頂點坐標及表面方程 1.2幾何性質 2正交投影 3半正對稱性與表面塗色 4相關多面體及鑲嵌 5應用 6數學問題 6.1倍立方體問題 6.2最大的橫切面 7參見 8外部連結 性質[編輯] 面的組成：正方形 面的數目：6 邊的數目：12 頂點數目：8 表面積： 6 a 2   {\displaystyle6a^{2}\} 體積： a 3   {\displaystylea^{3}\} 二面角角度： 90 ∘ {\displaystyle90^{\circ}} 外接球半徑： 3 4 a {\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4}}}a} ≈ 0.866 a {\displaystyle\approx0.866a} 內接球半徑： a 2 {\displaystyle{\frac{a}{2}}} 對偶多面體：正八面體 在所有表面積一定的長方體中，立方體的體積最大，同樣，在所有線性大小（長寬高之和）一定的長方體中，立方體的體積也是最大的。

反過來，體積相等的長方體中，立方體擁有最小表面積和線性大小。

頂點坐標及表面方程[編輯] 在三維直角坐標系中，對於以原點為中心的、各棱平行於坐標軸的、棱長為2的立方體，其頂點坐標為 (±1,±1,±1) 的全排列。

其包含了所有滿足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的點(x,y,z)。

在R3中，以點(x0,y0,z0)為中心的立方體表面是點(x,y,z)的運動軌跡，其中x,y,z滿足： lim n → ∞ ( x − x 0 ) n + ( y − y 0 ) n + ( z − z 0 ) n − a n = 0. {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(x-x_{0})^{n}+(y-y_{0})^{n}+(z-z_{0})^{n}-a^{n}=0.} 幾何性質[編輯] 立方體有11種不同的展開圖，即是說，我們可以有11種不同的方法切開空心立方體的7條棱而將其展平為平面圖形，見右圖。

立方體的11種不同展開圖 如果我們要將立方體塗色而使相鄰的面不帶有相同的顏色，則我們至少需要3種顏色（類似於四色問題）。

立方體是唯一能夠獨立密鋪三維歐幾里得空間的柏拉圖正多面體，因此立方體堆砌也是四維唯一的正堆砌（三維空間中的堆砌拓撲上等價於四維多胞體）。

它又是柏拉圖立體中唯一一個有偶數邊面——正方形面的，因此，它是柏拉圖立體中獨一無二的環帶多面體（它所有相對的面關於立方體中心中心對稱）。

將立方體沿對角線切開，能得到6個全等的正4稜柱（但它不是半正的，底面棱長與側棱長之比為2:√3）將其正方形面貼到原來的立方體上，能得到菱形十二面體（兩兩共面三角形合成一個菱形）。

正交投影[編輯] 我們可以從不同角度將立方體投影到二維平面上，這些投影都各自攜帶有立方體原本BC3對稱性的一部分。

正交投影 正對於 正方形面 頂點 考克斯特群 B2 A2 投影對稱性 [4] [6] 傾斜視角 半正對稱性與表面塗色[編輯] 作為正多面體之一，立方體擁有較高的對稱性，它的所有面在幾何上都是相同的，不可區分的。

可是我們也可以想像將立方體的面「塗上」不同的「顏色」，使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」，使立方體擁有不同的對稱性。

在立方體完全的對稱性，即正八面體對稱性Oh中，立方體的所有面都是相同的。

二面體對稱性D4h則將立方體描述得像一個正四稜柱，有兩個顏色相同的上下底面，其餘4個側面顏色相同。

立方體最低的對稱性D2h也將立方體描述的像一個稜柱，不過是長方形稜柱，即一個長方體，它的相對的面顏色相同，而相鄰的面是不同的。

每一種半正對稱性都有自己的施萊夫利符號、考克斯特-迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkindigram）和Wythoff符號（英語：Wythoffsymbol）。

此外，由於其對偶正八面體也可被看作是正三反稜柱，立方體也可被看作是正三反稜柱的對偶，即正三偏方面體。

名稱 正六面體 正四稜柱 長方體 正三偏方面體 考克斯特符號（英語：Coxeter-Dynkindiagram） 施萊夫利符號 {4,3} {4}×{} {}×{}×{} Wythoff符號（英語：Wythoffsymbol） 3|42 42|2 222| 對稱性（英語：Listofsphericalsymmetrygroups） Oh(*432) D4h(*422) D2h(*222) D3d(2*3) 對稱群階 24 16 8 12 圖像(半正表面塗色) (111) (112) (123) (111),(112),(122),及(222) 相關多面體及鑲嵌[編輯] 將立方體的其中四個頂點相連，而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上，可得到一個正四面體，其邊長為立方體邊長的 2 {\displaystyle{\sqrt{2}}} ，其體積為立方體體積的 1 3 {\displaystyle{\frac{1}{3}}} 。

正四面體外接正六面體 立方體的對偶多面體是正八面體。

當正八面體在立方體之內： 正八面體體積 :立方體體積 =[(1/3)×高×底面積]×2 :邊3 =(1/3)(n/2)[(n2)/2]2 :n3 =1 :6 星形八面體的對角線可組成一個立方體。

截半立方體：從一條棱斬去另一條棱的中點得出 截角立方體 超正方體：立方體在高維度的推廣。

更加一般的，立方體是一個大家族，即立方形家族（又稱超方形、正測形）的3維成員，它們都具有相似的性質（如二面角都是90°、有類似的超體積公式，即Vn-cube=an等）。

長方體、偏方面體的特例。

將立方體對映映射（英語：Antipodalpoint）後的到的商形成的一個實射影多面體，即立方體半形（hemicube）（不應叫其「半立方體」，因為其易與『demicube’混淆）。

Hemi-立方體是立方體2到1的商 正方體的對偶多面體是正八面體，如果原正方體棱長為1，則對偶正八面體棱長為√2。

正方體是一種最特殊的四邊形正六面體： 名稱 棱長相等？ 對角相等？ 各角為直角？ 立方體 是 是 是 菱面體 是 是 否 長方體 否 是 是 平行六面體 否 是 否 四邊形正六面體 否 否 否 立方體的8個頂點可以被交錯地分為兩組，每一組都構成一個完整的正四面體，更嚴格地說，這是作為半(Demi-)立方體的正四面體。

這兩個正四面體組合到一起，就構成了一個正的複合多面體——星形正八面體（StellaOctagula）。

兩個正四面體重合的地方構成凸的正八面體。

這意味著，正四面體的對稱群A3是正方體對稱群的子群，對應著能將半立方體變換到自身的對稱變換，立方體其餘的對稱變換能將兩個半立方體變換到對方。

一個這樣的正四面體占據了立方體體積的1/3,立方體剩餘的部分是4個全等的、頂角是立方體立體角的正三稜錐，各占立方體體積的1/6。

從立方體各棱中點處切掉立方體的角，我們會發現原先立方體的正方形面變成了其對偶的正方形面，而切掉的頂點處出現了新的正三角形面，這樣的操作叫「截半」（rectification），得到的半正多面體叫截半立方體（rectifiedcube），又叫立方八面體（cuboctahedron）。

如果我們不在棱中點處截它，則這種操作叫「截角」（truncation），正方形面變成了八邊形。

如果截的合適，則我們可將正方形截成正八邊形，得到的半正多面體叫截頂立方體（truncatedcube）。

如果我們同時截掉立方體的棱和頂，則這種操作叫「截棱」（centellation），如果截的恰當，得到的半正多面體是小斜方截半立方體（rhombicuboctahedron）。

正十二面體有20個頂點，它們可以以不同組合分成由8個頂點組成的5組，這8個頂點兩兩相連，構成內接在正十二面體內部的立方體，它的棱都是正十二面體的各面的對角線。

這五個立方體組合在一起，構成複合多面體——五複合立方體。

正十二面體內部的五複合立方體 如果我們完全切掉立方體相對的兩個頂點，我們會得到一個非正的八面體，將8個這樣的八面體正三角形面對正三角形面貼到正八面體上，則我們得到截半立方體。

立方體與所有其它擁有BC3對稱性的多面體（如正八面體和立方八面體）構成正八面體家族： 半正正八面體家族多面體 對稱性:[4,3],(*432) [4,3]+,(432) [1+,4,3],(*332) [4,3+],(3*2) {4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3} 半正多面體的對偶 V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3 此外，立方體在拓撲上與其它3階正鑲嵌{n,3}相關： 多面體 歐式鑲嵌 雙曲鑲嵌 {2,3} {3,3} {4,3} {5,3} {6,3} {7,3} {8,3} ... {∞,3} 立方體在拓撲上還和其它階的正方形正鑲嵌{4,n}(n≥3)有關： 多面體 歐式鑲嵌 雙曲鑲嵌 {4,2} {4,3} {4,4} {4,5} {4,6} {4,7} {4,8} ... {4,∞} 立方體是正四稜柱： 正多邊形柱體系列 對稱群（英語：Listofsphericalsymmetrygroups） 3 4 5 6 7 8 9 10（英語：Decagonalprism） 11（英語：Hendecagonalprism） 12 [2n,2][n,2][2n,2+] 圖像 球面多面體 圖像 類別 柏拉圖立體 卡塔蘭立體 種子 {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} aC aD 倒角 cT cC cO（英語：Chamferedoctahedron） cD cI caC caD 應用[編輯] 日常生活 食鹽和糖的結晶體都是立方狀。

骰子最常見的形狀就是立方體。

1967年世界博覽會的「立方體房間」 中國國家游泳中心俗稱「水立方」 遊戲 索馬立方 魔術方塊 扭扭骰 斯洛陶伯－赫拉茨馬立方：以6個1×2×2及3個單位立方組成3×3×3的立方（僅有一個解法）[1] 康威立方：以3個1×1×3，13個1×2×4，及1×2×2和2×2×2的長方體各一個，組成一個5×5×5的立方（572個解）[2] 視錯覺 奈克方塊 不可能方塊（下圖） 數論 立方數 數學問題[編輯] 由正方體展開圖可得知正方體表面積算法 正六邊形的切法：沿上底兩條鄰邊的中點，切至下底兩條鄰邊的中點 倍立方體問題[編輯] 參見尺規作圖，已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出 2 3 {\displaystyle{\sqrt[{3}]{2}}} 的位置 最大的橫切面[編輯] 立方體的橫切面只有四種： 三角形 矩形 五邊形 六邊形 其中以正六邊形的面積最大,若立方體的棱長為a,則正六邊形的面積為 3 3 a 2 4 {\displaystyle{\frac{3{\sqrt{3}}a^{2}}{4}}} 。

參見[編輯] 四角柱 超方形 正八面體 外部連結[編輯] 埃里克·韋斯坦因,立方體（參閱柏拉圖立體）於MathWorld（英文） 摺紙立方體（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Mathworld（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） MathematischeBasteleien（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 閱論編多面體1-10一面體 ·二面體 ·三面體 ·四面體（正四面體 ·鍥形體） ·五面體 ·六面體（立方體、長方體、四角柱、五角錐、平行六面體、雙三角錐） ·七面體 ·八面體 ·九面體 ·十面體11-20十一面體 ·十二面體 ·十三面體 ·十四面體 ·十五面體 ·十六面體 ·十七面體 ·十八面體 ·十九面體 ·二十面體其他空多胞形（零面體） ·多面形 ·二十四面體 ·二十七面體 ·六十面體 ·無限面體正多面體正四面體 ·正六面體 ·正八面體 ·正十二面體 ·正二十面體 ·正無限面體 閱論編幾何學術語點 頂點 交點 中點 角 極值點 最值點 臨界點 駐點 鞍點 直線和曲線 線段 射線 直線 切線 （主）法線 副法線 曲線 圓錐曲線 雙曲線 拋物線 正弦曲線 螺線（阿基米德螺線、等角螺線……） 擺線（最速降線問題） 懸鏈線 曳物線 漸開線 漸屈線 漸近線 測地線 邊 周界 弦 弧 垂直平分線 二次曲線 代數曲線 橢圓曲線 超橢圓 星形線 三尖瓣線 方圓形 勒洛三角形 平面圖形 圓（廣義圓） 橢圓 扇形 弓形 環形 多邊形 三角形 四邊形 五邊形 六邊形 多邊形 正多邊形 梯形 平行四邊形 菱形 矩形 正方形 鷂形 卵形線 梭形 星形 五角星 六角星 立體圖形 多面體 正多面體 四面體 長方體 立方體 平行六面體 稜柱 反稜柱 稜錐 稜台 圓柱體 圓錐 圓台 橢球（長球體、扁球體） 球體 球缺 球冠 球檯 準線 母線 曲面 二次曲面 旋轉曲面 拋物面 雙曲面 馬鞍面 球面 橢球面 類球面 環面 莫比烏斯帶 流形 黎曼曲面 高維空間 超平面 超面 超曲面 胞 多胞形 超球體 超方形 超立方體 克萊因瓶 四維柱體柱 圖形關係 相似 全等 對稱 平行 垂直 相交 相切 相離 鏡像 旋轉 反演 截面 縮放 三角形關係 相似三角形 全等三角形 量 距離 長度 周長 弧長 高度 面積 表面積 體積 容積 角度 曲率 撓率 離心率 凹凸性 有向曲面 可展曲面 直紋曲面 作圖 尺 直尺 三角尺 圓規 尺規作圖 二刻尺作圖 分支 平面幾何 立體幾何 三角學 解析幾何 微分幾何 拓撲學 圖論 摺紙數學 歐幾里得幾何 非歐幾里得幾何（雙曲幾何、球面幾何……） 分形 理論 定理 公理 定義 數學證明 分類 主題 共享資源 專題 閱論編帕拉圖立體柏拉圖立體正四面體·正六面體·正八面體·正十二面體·正二十面體 閱論編錐體與柱體錐體 三角錐 正三角錐 四角錐 五角錐 六角錐 七角錐 八角錐 無限角錐 雙錐體 雙三角錐 雙四角錐 雙五角錐 雙六角錐 雙七角錐 雙八角錐 ... 雙無限角錐 柱體 三角柱·四角柱·五角柱·六角柱·七角柱·八角柱·九角柱·十角柱·...·無限角柱（雙曲） 反柱體 三角反柱·四角反柱·五角反柱·六角反柱·七角反柱·八角反柱·...·無限角反柱 錐柱體 三角錐柱·四角錐柱·五角錐柱·六角錐柱·七角錐柱·八角錐柱·...·無限角錐柱 其他 圓錐 圓柱 雙圓錐 圓錐柱 閱論編正多面體 正多面體（列表） 柏拉圖立體 正四面體{3,3}4 立方體{4,3}6 正八面體{3,4}6 正十二面體{5,3}10 正二十面體{3,5}10 星形正多面體 小星形十二面體{5/2,5}6 大十二面體{5,5/2}6 大星形十二面體{5/2,3}10/3 大二十面體{3,5/2}10/3 正扭歪無限面體 四角六片四角孔扭歪無限面體{4,6|4} 六角四片四角孔扭歪無限面體{6,4|4} 六角六片三角孔扭歪無限面體{6,6|3} 皮特里對偶 皮特里四面體{4,3}3 皮特里立方體{6,3}4 皮特里八面體{6,4}3 皮特里十二面體{10,3}5 皮特里二十面體{10,5}3 皮特里小星形十二面體{6,5}5/2 皮特里大十二面體{6,5/2}5 皮特里大星形十二面體{10/3,3}5/2 皮特里大二十面體{10/3,5/2}3 無法良好具像化的抽象（英語：Abstract_polytope）正多面體 五階四邊形三十面體{4,5}6 四階五邊形二十四面體{5,4}6 五階六邊形二十面體{6,5}4 六階五邊形二十四面體{5,6}4 六階六邊形二十面體{6,6}6 複合正多面體一種多面體 星形八面體2{3,3} 五複合正四面體5{3,3} 十複合正四面體10{3,3} 五複合立方體5{4,3} 五複合正八面體5{3,4} 二複合六角六片三角孔扭歪無限面體2{6,6|3} 對偶複合體 二複合正四面體{3,3}{3,3} 複合八面體立方體{3,4}{4,3} 複合十二面體二十面體{5,3}{3,5} 複合大二十面體大星形十二面體（英語：Compound_of_great_icosahedron_and_great_stellated_dodecahedron）{3,5/2}{5/2,3} 複合小星形十二面體大十二面體{5/2,5}{5,5/2} 二複合六角六片三角孔扭歪無限面體{6,6|3}{6,6|3} 複合四角六片四角孔扭歪無限面體六角四片四角孔扭歪無限面體{4,6|4}{6,4|4} 其他空間的正多面體複數空間 黑塞二十七面體3{3}3{3}3 12 雙黑塞二十七面體2{4}3{3}3 18 截半黑塞二十七面體3{3}3{4}2 18 四元數空間 （四元數空間正多面體（英語：Quaternionic_polytope）） 相關條目 稀有多面體 均勻多面體 半正多面體 對偶多面體 {p,q}r↔{q,p}r 皮特里對偶 {p,q}r↔{r,q}p ※註：{p,q|h}r為施萊夫利符號，表示該正多面體由p邊形組成，每個頂點為q個p邊形的公共頂點，整體結構中有h邊形的孔洞，且赤道面上的扭歪多邊形為r邊形。

更精確地說，該立體的面為p邊形、頂點圖為q邊形、皮特里多邊形為r邊形並具有h邊形的孔洞。

閱論編正多邊形鑲嵌二邊形鑲嵌 二邊形密鋪 超二邊形密鋪 二邊形鑲嵌 ... 無限階二邊形鑲嵌（雙曲） 三角形鑲嵌 三階三角形鑲嵌 四階三角形鑲嵌 五階三角形鑲嵌 六階三角形鑲嵌 七階三角形鑲嵌 八階三角形鑲嵌 ... 無限階三角形鑲嵌 正方形鑲嵌 三階正方形鑲嵌 四階正方形鑲嵌 五階正方形鑲嵌 六階正方形鑲嵌 七階正方形鑲嵌 八階正方形鑲嵌 ... 無限階正方形鑲嵌 五邊形鑲嵌 三階五邊形鑲嵌 四階五邊形鑲嵌 五階五邊形鑲嵌 六階五邊形鑲嵌 七階五邊形鑲嵌 八階五邊形鑲嵌 ... 無限階五邊形鑲嵌 六邊形鑲嵌 三階六邊形鑲嵌 四階六邊形鑲嵌 五階六邊形鑲嵌 六階六邊形鑲嵌 七階六邊形鑲嵌 八階六邊形鑲嵌 ... 無限階六邊形鑲嵌 七邊形鑲嵌 三階七邊形鑲嵌 四階七邊形鑲嵌 五階七邊形鑲嵌 六階七邊形鑲嵌 七階七邊形鑲嵌 八階七邊形鑲嵌 ... 無限階七邊形鑲嵌 八邊形鑲嵌 三階八邊形鑲嵌 四階八邊形鑲嵌 五階八邊形鑲嵌 六階八邊形鑲嵌 七階八邊形鑲嵌 八階八邊形鑲嵌 ... 無限階八邊形鑲嵌 無限邊形鑲嵌 二階無限邊形鑲嵌（雙曲） 三階無限邊形鑲嵌 四階無限邊形鑲嵌 五階無限邊形鑲嵌 六階無限邊形鑲嵌 七階無限邊形鑲嵌 八階無限邊形鑲嵌 ... 無限階無限邊形鑲嵌 星型面的鑲嵌 五階五角星鑲嵌 六階六角星鑲嵌 七階七角星鑲嵌 星型頂點圖的鑲嵌 二分之五階五邊形鑲嵌 二分之七階七邊形鑲嵌 複合鑲嵌（重疊） 二複合正六邊形鑲嵌 複合三角形鑲嵌六邊形鑲嵌 其他 二階多邊形鑲嵌 二階超無限邊形鑲嵌 三角形-正方形鑲嵌 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=立方體&oldid=72622882」 分類：​使用維基數據的施萊夫利符號幾何術語柏拉圖立體多面體柱體空間填充多面體正多面體 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 AfrikaansAragonésالعربيةAsturianuAzərbaycancaБашҡортсаБеларускаяБългарскиBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisNordfriiskGaeilge贛語Galegoગુજરાતીעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarՀայերենԱրեւմտահայերէնBahasaIndonesiaIdoItaliano日本語PatoisJawaქართულიҚазақшаಕನ್ನಡ한국어КыргызчаLatinaLëtzebuergeschLietuviųLatviešuMalagasyОлыкмарийМакедонскиമലയാളംमराठीPlattdüütschNederlandsNorsknynorskNorskbokmålOccitanਪੰਜਾਬੀPolskiPiemontèisپښتوPortuguêsRunaSimiRomânăРусскийСахатылаSicilianuScotsDavvisámegiellaSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaSoomaaligaСрпски/srpskiSundaSvenskaKiswahiliதமிழ்తెలుగుไทยTürkçeУкраїнськаاردوOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệtWinaray吴语Bân-lâm-gú粵語 編輯連結