[微積分] 函數的單調性質(1)-一階導數判斷遞增?遞減?

這次要介紹利用微分來幫助我們判斷可導函數在某區間是否遞增/遞減。

Theorem: 1. 考慮函數f(x) 定義在開區間(a,b)上且在此區間上可導，我們說此函數 ... 跳到主要內容 [微積分]函數的單調性質(1)-一階導數判斷遞增?遞減? 2月11,2012 這次要介紹利用微分來幫助我們判斷可導函數在某區間是否遞增/遞減。

Theorem: 1.考慮函數$f(x)$定義在開區間$(a,b)$上且在此區間上可導，我們說此函數在$(a,b)$上為嚴格遞增函數(strictlyincreasing)若下列條件成立： \[ \forallx\in (a,b),\;\;f'(x)>0 \]2.考慮函數$f(x)$定義在開區間$(a,b)$上且在此區間上可導，我們說此函數在$(a,b)$上為嚴格遞減函數(strictlydecreasing)若下列條件成立： \[ \forallx\in (a,b),\;\;f'(x)<0 \]3.考慮函數$f(x)$定義在開區間$(a,b)$上且在此區間上可導，我們說此函數在$(a,b)$上為常數函數$c$若下列條件成立： \[ \forallx\in (a,b),\;\;f'(x)=0 \]Proof:omitted. Example1: 考慮$x\in\mathbb{R}$，且定義函數$f(x)=x^2$，試判斷其遞增/遞減性質： Solution 利用前述Theorem，對$f(x)$求一階導數 \[ f'(x)=2x \]故可知當$f'(x)=2x>0$亦即$x>0$時候(或者說在區間$(0,\infty)$)$f$為遞增 同理，可推知當$f'(x)=2x<0$亦即當$x<0$時候(或者說在區間$(-\infty,0)$)$f$為遞減 同理，可推知當$f'(x)=2x=0$亦即當$x=0$時候(或者說在$0$處)$f$為常數。

Example2: 考慮$x\in\mathbb{R}$，且定義函數$f(x)=x^2+2x-5$，試判斷其遞增/遞減性質： Solution 利用前述Theorem，對$f(x)$求一階導數 \[ f'(x)=2x +2 \]故可知當$f'(x)=  2x +2 >0$亦即 $x>-1$時候(或者說在區間$(-1,\infty)$)$f$為遞增 同理，可推知當$f'(x)=2x+2<0$亦即當$x0$亦即 $x\in\mathbb{R}$時候$f$為遞增且永不遞減!! 但是當$f'(x)= 3x^2 =0$亦即當$x=0$時候$f$為常數。

此例說明了儘管出現$x=0$的時候$f(x)$的導數為常數，但此時函數函數的遞增性質並不改變。

Example4*: 令$f:[-1,1]\to\mathbb{R}$且$f(x)=\sqrt{1=x^2}$試判斷區間的遞增遞減性質。

Solution 先對該函數求導，可得 \[f'\left(x\right)=\frac{{-x}}{{\sqrt{1-{x^2}}}}\]現在觀察上述函數可知$f'>0$當$x\in(-1,0)$且$f'<0$當$x\in(0,1)$亦即$(-1,0)$此函數遞增，且$(0,1)$此函數遞減。

剩下還有三點$-1,0,1$為判斷遞增遞減性質，此三點的判定可透過前一篇文章我們曾討論過的拓展到端點的定理也就是說如果原函數在關心的端點上連續，則遞增/減性質可被直接拓展到該端點上，現在回到我們的問題可發現，原函數$f$在$-1$與$0$與$1$皆連續，故我們可拓展遞增遞減性質，也就是說$f$在$[-1,0]$遞增，$f$在$[0,1]$遞減。

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事實上想法是這樣的：比如說現在想要比較兩個數字$3$,$5$之間的大小，則我們可以馬上知道$3<5$；同樣的，如果再考慮小數與無理數如$1.8753$與$\pi$，我們仍然可以比較大小$1.8753