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數列（英語：Number sequence）是由數字組成的序列，也即是全序置換的多個數。

數列及其相關術語常用於有關遞推規律的研究。

數列也是級數理論的基本概念。

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（幫助、討論） 數列（英語：Numbersequence）是由數字組成的序列，也即是全序置換的多個數。

數列及其相關術語常用於有關遞推規律的研究。

數列也是級數理論的基本概念。

目次 1基本概念 2分類 2.1單調性 2.2有限性 2.3有界性 3極限與數列 3.1收斂正式定義 4重要的特殊數列 5數列的求和 6通項公式的求解 6.1數學歸納法 6.2逐差全加 6.3逐商全乘 6.4從和式求通項 6.5換元法 6.6不動點法 6.7其它方法 7在其他數學領域的使用 7.1拓樸 7.2分析 7.3線性代數 7.4抽象代數 8參見 9參考資料 基本概念[編輯] 數列是一列兩個以上按順序置換的數，所組成的序列，記為⟨ak⟩、{ak} 或(ak)： ⟨ a k ⟩ k = 1 n = ⟨ a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ , a n ⟩ {\displaystyle\left\langlea_{k}\right\rangle_{k=1}^{n}=\left\langlea_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots,\,a_{n}\right\rangle} ， 其中n∈Z+，Z+是正整數集。

雖然{ak} 的記號很常見，但這與無序的集合符號相同[1]，容易引起混淆，因此這裡使用記號⟨ak⟩。

數列中的每一個數稱為這個數列的「項」。

a1為數列的「第一項」、a2為「第二項」、an則為「第n項」。

項的總個數為數列的「項數」。

數列中的第一項常稱為「首項」，最後一項則稱為「末項」。

注意，有些數列會設為 ⟨ a k ⟩ k = 0 n {\displaystyle\left\langlea_{k}\right\rangle_{k=0}^{n}} ，其中n∈N，N是自然數集。

換句話說，數列以第零項a0作為首項。

一些有無窮個項的數列，比如全體正整數數列⟨1,2,3,4,5,...⟩，只有首項，沒有末項。

按照伯特蘭·羅素在《西方哲學史》書中的說法，人們也可以定義沒有首項的無窮數列：把正整數數列倒過來置換即可。

但是這種沒有首項的數列，在數學上沒有大的用處。

[2] 數列是特殊的序列，全部由數字組成。

序列則範圍更廣，可以由有序的一系列數字、一系列函數、一系列矢量、一系列矩陣或一系列張量組成，等等。

但有的微積分教材用序列一詞來稱呼數列，讀者需要自己留意。

數列可被視作函數f :Z+→Y， f ( n ) = a n {\displaystylef(n)=a_{n}} ， 其中Y是包含數列中各個項的對應域。

從這個角度看，數列能視作一種特殊的函數，稱為「整標函數」。

[3] 數列中各個項的和稱為「級數」。

但級數的概念的推廣至數列以外的序列，比如函數序列的函數項級（英語：functionseries）。

分類[編輯] 單調性[編輯] 若對所有n∈Z+，an+1≥an，則稱數列⟨ak⟩為「遞增數列」。

把≥換成>，則稱為「嚴格遞增數列」。

若對所有n∈Z+，an+1≤an，則稱數列⟨ak⟩為「遞減數列」。

把≤換成 0 {\displaystyle\epsilon>0} ，存在一個正整數 N ∈ N {\displaystyleN\in\mathbb{N}} ，使得對所有的 n ≥ N {\displaystylen\geqN} ，有 | a n − L | < ϵ {\displaystyle|a_{n}-L|