微观经济学5 ：选择（Choice） - 知乎专栏

The optimal choice of good 1 and 2 at some set of prices and income is called the ... 5.4 效用函数估计（Estimating Utility Functions）. 首发于经济学思想无障碍写文章登录/注册本文为笔者学习《INTERMEDIATEMICROECONOMICS》时做的翻译与笔记，与原著内容略有出入，希望能与大家一起学习经济学的相关知识。

在这一章节中，我们将会结合预算集与偏好理论来找到消费者的最佳选择，在之前的章节中我们提到消费者选择的经济模型含义是：消费者会在他们可以承受的范围内选择最好的消费束，在这一章节，我们可以使用一种更加专业的说法，即“消费者会在他们的预算集中选择他们最偏好的消费束”（consumerschoosethemostpreferredbundlefromtheirbudgetsets）。

5.1最优选择（OptimalChoice）如下图所示就是一个典型的例子：最优选择在上图中，我们画了一条预算线与两条无差异曲线，同时我们在预算线上找到了一个消费束，并且保证该消费束在最高的无差异曲线上。

因为偏好的性质，我们可以把注意力局限在预算线上，而不用担心预算线以下的情况（Sincepreferencesarewell-behaved,sothatmoreispreferredtoless,wecanrestrictourattentiontobundlesofgoodsthatlieonthebudgetlineandnotworryaboutthosebeneaththebudgetline）。

在上图中，(x_{1}^{*},x_{2}^{*})所代表的选择就是消费者的最优选择（optimalchoice），也是消费者可以承担的选择。

如果仔细观察的话，我们可以找到最优消费束的一些特征：在这个选择点上，无差异曲线与预算线是相切的。

如果预算线与无差异曲线不相切，它就会穿过预算线，这也就意味着在这条预算上存在某一点与上方的无差异曲线相切，表明该消费束不是最优选择消费束。

那么，是不是所有相切的情况都意味着到达最优选择了呢？其实不尽然，我们可以看如下几个特殊案例。

第一个特殊案例就是无差异曲线可能并没有切线，就如下图所示：Kinkytastes：无差异曲线无切线的情况在上图所示的案例中，无差异曲线在最佳选择处有一个曲折，由此切线也就无从定义。

下面我们来看第二个更加有趣的情况，如果最优选择发生在某一商品消耗为0时，最优选择会在图中如何显示呢，如下图所示：边界最优我们将上图中的情形称为边界最优（boundaryoptimum），而将第一张图所表示的情形称为内部最优（interioroptimum）。

了解了以上两种特殊情况后，我们把我们的视线重新聚焦到内部最优的情况上来，我们已经知道切线条件下才能得到消费者的最优选择，那么切线条件是束最优的充分条件（sufficientcondition）吗？如果我们已经找到了与一条无差异曲线相切的预算线，那么它们的交点是不是一定就是最优选择的消费束的点呢？如下图所示，我们可以看到在这张示意图中无差异曲线上有两个消费束符合预算预算线与无差异曲线相切的情况：超过一个切点的情况考虑到上图这类特殊情况，我们还需要赠加一个条件，那就是凸偏好。

在凸偏好的情况下，任何满足切点的消费束一定是最优选择。

也就是说，在严格（strictly）凸的情况下，在每条预算线上只会存在一个最优选择。

MRS即边际替代率必须等于预算线在内部最优的斜率的条件在图形上是显而易见的，但是它在经济层面上意味着什么呢？（TheconditionthattheMRSmustequaltheslopeofthebudgetlineataninterioroptimumisobviousgraphically,butwhatdoesitmeaneconomically?）首先我们知道边际替代率指的是消费者乐意以某种比例将商品之间互相替换，而且市场给与了消费者替换的比例-p_{1}/p_{2}，这就意味着如果你放弃1单位的1号商品，你就可以得到p_{1}/p_{2}单位的2号商品。

如果消费者处于他或她愿意留在那里的消费束，那么在该位置上MRS必然符合以下条件：MRS=-p_{1}/p_{2}那么我们试着想象一下，如果MRS不等于该数值，为发什么什么情况呢？举例而言，如果MRS的数值等于\Deltax_{2}/\Deltax_{1}=-1/2，于此同时价格的比例为1/1，这种情况意味着消费者愿意放弃2单位的1号商品来获取1单位的2号商品，但与此同时，在市场上，这两种商品可以以1：1的比例自由交换。

那么这时候消费者自然就会选择放弃一些1号商品来购买更多的2号商品，所以我们可以知道只要MRS的数值与市场价格比例不同时，消费者就无法处于他/她的最优选择上。

5.2消费需求（ConsumerDemand）在某一价格和收入的情况下，1号商品与2号商品的最优选择被称为消费者的需求束（demandedbundle）。

Theoptimalchoiceofgood1and2atsomesetofpricesandincomeiscalledtheconsumer'sdemandedbundle.一般情况下，如果价格与收入改变，消费者的最优选择也会改变，而需求函数（demandfunction）指的就是与最优选择相关联的函数，它可以用来计算在不同收入和价格的情况下需求的数量。

需求函数依赖于价格与需求：x_{1}(p_{1},p_{2},m)与x_{2}(p_{1},p_{2},m)，在不同的价格和收入下，消费者的最优选择就会由不同的商品组合而成。

不同的偏好将会带来不同的需求函数，我们将会在接下来的篇幅中介绍一些具体例子。

在之后的章节中，我们的主要目的就是研究这些曲线函数的变化，即最优选择随着价格和收入的变动会发生怎样的变化。

5.3一些例子（SomeExamples）我们会使用一些在第三章讲述的例子，对于每个示例，基本过程是相同的：绘制无差异曲线和预算线，并找到最高无差异曲线与预算线相接触的点。

完全替代（PerfectSubstitutes）当商品是完全替代的情况时，示意图如下图所示：如果是完全替代的情况，我们会遇到三种不同的情境：如果p_{2}>p_{1}，那么预算线的斜率将会比无差异曲线的斜率要小，这时最优消费束会在消费者把他/她的钱全部买入1号商品时发生。

如果p_{1}>p_{2}，那么消费者只会购买2号商品。

如果p_{2}=p_{1}，那么这时候消费者无论怎么购买1号商品与2号商品，他/她都会处于最优选择上。

由上述三个推导我们可以得到曲线函数，其形式如下所示：完全互补（PerfectComplements）当商品是完全互补的情况时，示意图如下图所示：结合示意图，我们来试着用代数的方法来解决最优选择的问题，我们现在已知不管商品价格是多少，消费者都会购买相同数量的1号商品与2号商品。

那么我们将商品数量定义为x，这时候商品数量需要满足预算约束，也就是p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m那么这时候如果我们能够知道x的数值，涡模拟就剋知道最优选择，而其数值的计算可以变换为以下形式：x_{1}=x_{2}=x=\frac{m}{p_{1}+p_{2}}那么这时候最优选择就是当消费者把所有的钱都购买(p_{1}+p_{2})价格的商品时的数量。

中性产品和厌恶品（NeutralsandBads）在中性产品的情况下，消费者会把自己所有的钱都购买自己喜欢的产品而不会购买任何中性产品，同样的情况也会在厌恶品的条件下产生。

也就是说，如果1号商品是喜欢的产品，而2号商品是厌恶品，那么需求函数就是如下形式：x_{1}=\frac{m}{p_{1}}x_{2}=0离散商品（DiscreteGoods）我们假设1号商品是离散商品，即它只能以整数量来购买，而2号商品我们把它定义为金钱，因此2号商品可以被用来购买任何商品。

如果消费者选择了1，2，3，……单位的1号商品，那么他/她将毫无疑问地会选择消费束(1,m-p_{1})，(2,m-2p_{1})，(3,m-3p_{1})等等，我们可以直接比较这些消费束的效用来找到哪个消费束拥有最高的效用。

除了上述方法之外，我们也可以使用无差异曲线进行分析找到最优选择，示意图如下：和之前一样，最有消费束一定在最高的那条无差异“曲线”上，如果1号商品的价格非常高，那么消费者就会选择0单位的1号商品，同时随着1号商品价格的降低消费者会发现购买1单位的1号商品能使效用最大化，一般而言，1号商品的价格越低，消费者就会购买越多的1号商品。

凹偏好（concavepreference）假设消费者偏好如下图所示：在上图中，X点与预算线相切，那么这点是最优选择吗？不是！在这种情况下，最优选择实际上是边界选择（boundarychoice）即Z点。

让我们来试着考虑以下凹偏好到底意味着什么意思，如果你有钱可以购买冰激凌和橄榄，但是你又不喜欢同时消费这两种产品（可以理解为你不喜欢同时吃冰激凌和橄榄），所以你会选择把你的所有钱都放在某一个产品上来获得最大的效用。

柯布一道格拉斯偏好（Cobb-DouglasPreferences）假设现在效用函数的形式是柯布一道格拉斯函数的形式，即u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{c}x_{2}^{d}，那么这时候我们可以用微积分的知识得到最优选择时的效用函数（具体推导形式略），函数形式如下：x_{1}=\frac{c}{c+d}\frac{m}{p_{1}}x_{2}=\frac{d}{c+d}\frac{m}{p_{2}}因为以上两个需求函数经常在代数的例子中要用到，所以一定要记住这两个公式。

柯布一道格拉斯偏好有一个显著的特征：如果消费者购买了x_{1}单位的1号商品，这将使他花费p_{1}x_{1}的金钱，即占有他/她总收入的p_{1}x_{1}/m的比例，那么这时候我们可以得到如下数学推导：x_{1}\frac{p_{1}}{m}=\frac{p_{1}}{m}\frac{c}{c+d}\frac{m}{p_{1}}=\frac{c}{c+d}相似地，我们可以去计算2号商品的消费额占收入的占比，我们可以得到其比例为\frac{c}{c+d}。

所以在柯布一道格拉斯偏好的情况下，消费者对于两种商品总是会花费他/她收入的固定比例，而这比例的大小与柯布一道格拉斯函数的指数有关。

这就是为什么用指数之和为1的柯布一道格拉斯效用函数来计算会显得格外方便了，如果u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a}，那么我们立刻就可以知道数值a就是消费者在1号商品上花费的收入的比例。

5.4效用函数估计（EstimatingUtilityFunctions）现在我们已经了解了多种形式的偏好以及效用函数，于此同时我们也结合具体案例讲解在各种情况下如何推导需求行为，但是在现实生活中我们仍然会遇到一些其他的情况：我们能够观察需求行为，但是我们的问题是确定什么样的偏好产生了那些观察到的行为。

（butourproblemistodeterminewhatkindofpreferencesgeneratedtheobservedbehavior）举例而言，假设我们已经观察到了在不同价格和收入水平下消费者的选择，然后我们制作了一张表格，其中内容是关于在不同年份中不同价格及收入水平下两种商品的需求，表格如下所示：在上表中，s_{1}与s_{2}表示的是消费者在1号商品及2号商品上花费的金额占总收入的比例，它们满足如下的数学公式：s_{1}=p_{1}x_{1}/ms_{2}=p_{2}x_{2}/m通过统计与计算发现，1号商品消费平均占收入的1/4，2号商品的消费平均占收入的3/4，那么这时候效用函数的形式就是u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\frac{1}{4}}x_{2}^{\frac{3}{4}}。

也就是说，在这个形式的效用函数下产生的选择行为与我们能够观察到的选择行为是一致的。

从我们观察到的行为可以看出，消费者似乎在最大程度地想要取得效用函数u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\frac{1}{4}}x_{2}^{\frac{3}{4}}的最大值，也许更长远的观察会带来完全不同的结果，但是基于现在观察到的数据，消费者的行为与我们的假设几乎一致。

由此可知，我们可以使用这个“量身定做”的效用函数来预估一些政策的影响。

举例来讲，假设政府在考虑要实施以向税收政策，这项政策实施后，消费者将要面对(2,3)的价格集，并且会拥有200的收入，那么根据我们的估计，在这个价格水平上的需求可由以下数学推导计算得出：x_{1}=\frac{1}{4}\frac{200}{2}=25x_{2}=\frac{3}{4}\frac{200}{3}=50那么这时候的效用集为：u(x_{1},x_{2})=25^{\frac{1}{4}}50^{\frac{3}{4}}=42这就意味着在这项政策出台后，消费者所面临的情况会比第2年好，但是比第3年差，由此我们就可以通过使用那些观察到的消费者行为来预估新政策的影响。

当然，在很多情况下我们会遇到更简单的情况，我们有时候会无法得到关于消费者选择的具体数据，但是我们会把个人以集体形式进行划分——青年人，中产家庭，老人和其他，这不同的分组人群会对不同的商品拥有不同的偏好。

在这种情况下，我们也可以估计一个效用函数来描述他们的选择与消费行为，然后利用这个效用函数来预测需求，同时给政策提出建议。

5.5MRS条件的含义（implicationsoftheMRScondition）在前面小节的内容中，在观察足够多的消费选择行为后，通过数据预测效用函数完全是可以，但是，即使以一组价格观察一个消费者选择，也能够让我们对消费变化时消费者效用将如何变化做出一些有用的推断。

Butevenobservingoneconsumerchoiceatonesetofpriceswillallowustomakesomekindsofusefulinferencesabouthowconsumerutilitywillchangewhenconsumptionchanges.在组织良好的市场中，每个人都会面对相同的价格，我们以黄油和牛奶为例，假设每个人能够买到的黄油和牛奶的价格都是一样的，每个人都在优化，且每个人都在内部解决方案中。

（everyoneisoptimizingandeveryoneisataninteriorsolution）由此可知，每个人一定会对黄油和牛奶拥有相同的边际替代率。

与此同时，市场为每个人都提供了黄油与牛奶之间的相同的交换比率，那么市场上的每个人都会调节自己对于这两种商品的消费，直到消费者们自己“内部”（interior）边际价值与市场的“外部”（external）边际价值相等。

有趣的是，消费者们的口味与收入是相互独立的，这就表明人们可能对两种商品的总消费价值有很大的不同。

（peoplemayvaluetheirtotalconsumptionofthetwogoodsverydifferently）有些人可能会消费很多的黄油但只消费一点点牛奶，而有些人则恰恰相反。

有些有钱人可能会消费很多黄油和牛奶，而相对而言穷人对于这两种商品的消费量都会比较小。

但是不管是哪种情况，所有消费这两种产品的人都会拥有相同的边际替代率。

我们还需要注意到一个重要的事实，即价格的比值衡量了边际替代率的大小，由此我们寻找一种方法来评估消费束的可能变化。

（findawaytovaluepossiblechangesinconsumptionbundles）举例而言，假设牛奶的价格是1美元/夸脱，黄油的价格是2美元/磅，那么这时候所有人的消费牛奶和黄油的边际替代率一定为2，这意味着每当它们放弃1夸脱牛奶的时候，需要得到2磅的黄油作为补偿。

因此，每个消费两种商品的人都会以同样的方式来评价消费的边际变化。

（Henceeveryonewhoisconsumingbothgoodswillvalueamarginalchangeinconsumptioninthesameway.）现在假设有一位发明家发现了可以使牛奶变成黄油的新办法，通过这个新办法，每3夸脱牛奶可以变成1磅黄油，并且没有其他有用的副产品产生。

现在的问题是：这个极其有市场吗？答案：毫无市场，因为人们明明可以通过市场行为用2夸脱的东西换1磅黄油，为什么要通过这个机器做亏本生意呢？那么如果情况反转，即1磅黄油可以通过这个机器变成3夸脱的牛奶时，又会发生怎样的情况呢？答案：这个机器大有市场！如果我们在一组价格中观察到一个选择，我们就在一个消费点得到MRS。

（IfweobserveonechoiceatonesetofpriceswegettheMRSatoneconsumptionpoint.）随着我们观察越来越多的选择，我们越来越了解可能产生所观察的选择行为的潜在偏好的形状。

（Asweobservemoreandmorechoiceswelearnmoreandmoreabouttheshapeoftheunderlyingpreferencesthatmayhavegeneratedtheobservedchoicebehavior.）5.6选择赋税（ChoosingTaxes）在之前的章节中，我们已经了解到了从量税（quantitytax）是什么意思，类似于每加仑的汽油征收15美分的税金，而收入税（incometax）指的就是针对收入的税收。

那么当一个政府想要赠加财政收入的时候，是应该赠加从量税还是应该赠加收入税呢？我们首先来分析从量税的情况，我们假设原来的预算约束如下：p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m如果我们对于1号商品的消费量赠加t的税收，预算约束会变成如下新形式：(p_{1}+t)x_{1}+p_{2}x_{2}=m如下图所示就是赠加从量税后预算线与最优选择的移动情况：由上图可知，当附加从量税后，最优选择(x_{1}^{*},x_{2}^{*})必须满足以下条件：(p_{1}+t)x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}=m这时候政府增加的财政收入为R^{*}=tx_{1}^{*}那么在增加相同财政收入的情况下，我们考虑以下如果征收的是收入税，会发生怎样的情况，在这时，预算约束会变成如下形式：p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m-R^{*}或者，我们把R^{*}替换为如下形式：p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m-tx_{1}^{*}这时候预算线和最优选择的变化就会如下图所示：从上图中我们可以看到，预算线的斜率并没有发生变化，其数值一直为-p_{1}/p_{2}，但是预算线向下移动了。

考虑到政府征收的税金是已知的，那么新的预算线一定过经过点(x_{1}^{*},x_{2}^{*})，我们在画这张示意图的时候可以留意新的预算线是否经过了该点。

现在我们已知(x_{1}^{*},x_{2}^{*})一点处于新的预算线上，那么该消费束也是消费者可以承担的（affordable），但是该消费束为最优选择吗？不是！在该点，边际替代率MRS的数值为-(p_{1}+t)/p_{2}，但是在收入税的条件下我们可以以-p_{1}/p_{2}的比例交换商品，这就意味着在预算线上存在比(x_{1}^{*},x_{2}^{*})更优的消费束。

这个结论需要被牢记，但是我们也需要理解其中的限制条件：首先，它只适用于一个消费者，这个论点表明，对于任何特定的消费者而言，通过所得税从该消费者那里筹集到的钱和数量税一样多，同时前者会使他或她过得更好。

（Theargumentshowsthatforanygivenconsumerthereisanincometaxthatwillraiseasmuchmoneyfromthatconsumerasaquantitytaxandleavehimorherbetteroff.）但是收入税的具体税金对于不同人而言是完全不同的，所以上述论点并不能总是成立。

其次，我们假设在的是在征收收入税时，消费者的收入不会改变，我们同时假设收入税是一次性缴税，但是这种情况在现实生活中并不会发生。

最后，我们完全没有考虑在税收政策实施后供给的变化，我们只考虑了需求会根据税收的改变而如何变化，但是与此同时供给也会发生相应的改变，我们需要结合供给作一个更为详尽的分析。

发布于2018-10-2208:44经济学微观经济学经济学理论​赞同85​​5条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录经济学思想