動能- 維基百科，自由的百科全書

動能是物質運動時所得到的能量。

它通常被定義成使某物體從靜止狀態至運動狀態所做的功。

由於運動是相對的，動能也是相對於某參照系而言。

同一物體在不同的參照系會有 ... 動能 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 車子在斜坡上的位置不同，其動能與勢能（位能）亦不相同。

動能是物質運動時所得到的能量。

它通常被定義成使某物體從靜止狀態至運動狀態所做的功。

由於運動是相對的，動能也是相對於某參照系而言。

同一物體在不同的參照系會有不同的速率，也就是有不同的動能。

動能的國際單位是焦耳（J），以基本單位表示是千克米平方每秒平方（kg·m2·s-2）[1]。

一個物體的動能只有在速率改變時才會改變。

目次 1經典力學 1.1推導與定義 1.2自轉的物體 2相對論 2.1極限 3參考文獻 4參見 經典力學[編輯] 在經典力學，一個質點（一個很小的物體，它的大小基本可以忽略）或者一個沒有自轉的剛體的動能、速率與質量的關係是： E k = 1 2 m v 2 {\displaystyleE_{k}={\frac{1}{2}}mv^{2}} 其中 E k {\displaystyleE_{k}} 代表動能， m {\displaystylem} 代表質量及 v {\displaystylev} 代表速率。

[1] 而當一個物體的質量不變，一個物體平移的動能、速率與質量的關係亦同上 一個物體的動能與動量的關係為： E k = p 2 2 m {\displaystyleE_{k}={\frac{p^{2}}{2m}}} 其中 E k {\displaystyleE_{k}} 代表動能， p {\displaystylep} 代表動量的數值及 m {\displaystylem} 代表質量。

推導與定義[編輯] 我們可選擇任意一個慣性參考系來考慮動能。

一個物體原來靜止，在受到作用力之後便加速。

它所得到的動能是總共的作用力對它所做的功。

W = ∫ F → ⋅ d s → {\displaystyleW=\int{\vec{F}}\cdotd{\vec{s}}} 其中 W {\displaystyleW} 代表功， F → {\displaystyle{\vec{F}}} 代表物體所受到的總共的作用力， s → {\displaystyle{\vec{s}}} 代表物體的位移。

根據牛頓第二定律， F → = d p → d t {\displaystyle{\vec{F}}={\frac{d{\vec{p}}}{dt}}} 其中 F → {\displaystyle{\vec{F}}} 代表力， p → {\displaystyle{\vec{p}}} 代表動量和 t {\displaystylet} 代表時間。

動量、速度與質量的關係為： p → = m v → {\displaystyle{\vec{p}}=m{\vec{v}}} 其中 p → {\displaystyle{\vec{p}}} 代表動量， m {\displaystylem} 代表質量及 v → {\displaystyle{\vec{v}}} 代表速率。

在牛頓力學中，一個物體的質量不隨速率的改變而改變。

W = ∫ d p → d t ⋅ d s → = ∫ m d v → d t ⋅ d s → = ∫ m v → ⋅ d v → = 1 2 ∫ m d ( v → ⋅ v → ) = 1 2 m v 2 + C 0 {\displaystyleW=\int{\frac{d{\vec{p}}}{dt}}\cdotd{\vec{s}}=\intm{\frac{d{\vec{v}}}{dt}}\cdotd{\vec{s}}=\intm{\vec{v}}\cdotd{\vec{v}}={\frac{1}{2}}\intmd({\vec{v}}\cdot{\vec{v}})={\frac{1}{2}}mv^{2}+C_{0}} 其中 W {\displaystyleW} 代表功， p → {\displaystyle{\vec{p}}} 代表動量， t {\displaystylet} 代表時間， v → {\displaystyle{\vec{v}}} 代表速度， v {\displaystylev} 代表速率， m {\displaystylem} 代表質量， C 0 {\displaystyleC_{0}} 代表不定常數。

當物體的速率為零時，其動能亦為零。

因此， E k = 1 2 m v 2 {\displaystyleE_{k}={\frac{1}{2}}mv^{2}} 其中 E k {\displaystyleE_{k}} 代表動能， m {\displaystylem} 代表質量及 v {\displaystylev} 代表速率。

自轉的物體[編輯] 如果一個物體自轉，它便有自轉動能。

自轉動能是它的每一質點的平移動能的和。

E r = 1 2 ∫ v 2 d m = 1 2 ∫ r 2 ω 2 d m = 1 2 ω 2 ∫ r 2 d m = 1 2 I ω 2 {\displaystyleE_{r}={\frac{1}{2}}\intv^{2}dm={\frac{1}{2}}\intr^{2}\omega^{2}dm={\frac{1}{2}}\omega^{2}\intr^{2}dm={\frac{1}{2}}I\omega^{2}} 其中 E r {\displaystyleE_{r}} 代表自轉動能， v {\displaystylev} 代表速率， ω {\displaystyle\omega} 代表角速度， m {\displaystylem} 代表質量及 r {\displaystyler} 代表質點到旋轉軸間的距離。

相對論[編輯] 在狹義相對論中，我們必須改變線性動量的表達式。

使用 m {\displaystylem} 表示靜止質量， v {\displaystyle\mathbf{v}} 和 v {\displaystylev} 分別表示物體的速度和速率， 而 c {\displaystylec} 表示真空中的光速，我們假設線性動量 p = m γ v {\displaystyle\mathbf{p}=m\gamma\mathbf{v}} ，其中 γ = 1 / 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle\gamma=1/{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}} 分部積分得到 E k = ∫ v ⋅ d p = ∫ v ⋅ d ( m γ v ) = m γ v ⋅ v − ∫ m γ v ⋅ d v = m γ v 2 − m 2 ∫ γ d ( v 2 ) {\displaystyleE_{\text{k}}=\int\mathbf{v}\cdotd\mathbf{p}=\int\mathbf{v}\cdotd(m\gamma\mathbf{v})=m\gamma\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}-\intm\gamma\mathbf{v}\cdotd\mathbf{v}=m\gammav^{2}-{\frac{m}{2}}\int\gammad(v^{2})} 回憶 γ = ( 1 − v 2 / c 2 ) − 1 / 2 {\displaystyle\gamma=(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}\!} ，我們得到： E k = m γ v 2 − − m c 2 2 ∫ γ d ( 1 − v 2 / c 2 ) = m γ v 2 + m c 2 ( 1 − v 2 / c 2 ) 1 / 2 − E 0 {\displaystyle{\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gammav^{2}-{\frac{-mc^{2}}{2}}\int\gammad(1-v^{2}/c^{2})\\&=m\gammav^{2}+mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}-E_{0}\end{aligned}}} 其中 E 0 {\displaystyleE_{0}} 作為積分常數。

於是: E k = m γ ( v 2 + c 2 ( 1 − v 2 / c 2 ) ) − E 0 = m γ ( v 2 + c 2 − v 2 ) − E 0 = m γ c 2 − E 0 {\displaystyle{\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma(v^{2}+c^{2}(1-v^{2}/c^{2}))-E_{0}\\&=m\gamma(v^{2}+c^{2}-v^{2})-E_{0}\\&=m\gammac^{2}-E_{0}\end{aligned}}} 通過觀察 v = 0 ,   γ = 1 {\displaystyle\mathbf{v}=0,\\gamma=1\!} 且 E k = 0 {\displaystyleE_{\text{k}}=0\!} ，得到積分常數 E 0 {\displaystyleE_{0}} 應為 E 0 = m c 2 {\displaystyleE_{0}=mc^{2}\,} 並給出通常的公式 E k = m γ c 2 − m c 2 = m c 2 1 − v 2 / c 2 − m c 2 {\displaystyleE_{\text{k}}=m\gammac^{2}-mc^{2}={\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}} 極限[編輯] lim v → c E k = ∞ {\displaystyle\lim_{v\rightarrowc}E_{\text{k}}=\infty} 當速度趨向光速，動能趨向無限，因此限制了速度的上限為光速，體現了相對論的自恰性。

利用泰勒公式： E k = m c 2 1 − ( v / c ) 2 − m c 2 = m c 2 ( 1 + 1 2 v 2 / c 2 + 3 8 v 4 / c 4 + ⋯ ) − m c 2 = m c 2 + m v 2 2 + 3 8 m v 4 / c 2 + ⋯ − m c 2 ≈ 1 2 m v 2 {\displaystyle{\begin{aligned}E_{\text{k}}&={\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}\\&=mc^{2}(1+{\frac{1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac{3}{8}}v^{4}/c^{4}+\cdots)-mc^{2}\\&=mc^{2}+{\frac{mv^{2}}{2}}+{\frac{3}{8}}{mv^{4}/c^{2}}+\cdots-mc^{2}\\&\approx{\frac{1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}} 低速情況下，相對論中的表達式趨向於經典力學中的表達式。

參考文獻[編輯] ^1.01.1趙志敏.高中物理竞赛教程.基础篇.復旦大學出版社.2011年10月:P139.ISBN 978-7-309-08251-7.  參見[編輯] 勢能（又稱「位能」） 機械能 能量 相對論 牛頓運動定律 閱論編經典力學表述形式 矢量力學 分析力學（拉格朗日力學 哈密頓力學） 基礎概念 空間 時間 速度 加速度 質量 引力 力矩 參考系 力 力偶 衝量 動量 剛體 角動量 慣性 轉動慣量 能量 動能 位能 虛功 作用量 拉格朗日量 哈密頓量 功 重要理論 牛頓運動定律 胡克定律 牛頓萬有引力定律 簡諧運動 達朗貝爾原理 歐拉方程式 哈密頓原理 拉格朗日方程式 最小作用量原理 應用 簡單機械 斜面 槓桿 滑輪 螺旋 楔子 輪軸 科學史 發展史 開普勒 牛頓 歐拉 達朗貝爾 哈密頓 赫茲 拉格朗日 拉普拉斯 伽利略 雅可比 諾特 分支 靜力學 動力學 運動學 工程力學 天體力學 連續介質力學 統計力學 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=动能&oldid=68684906」 分類：​動力學能量基本物理概念 導覽選單 個人工具 尚未登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 繁體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 視圖 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導覽 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 Afrikaansالعربيةঅসমীয়াAsturianuAzərbaycancaBikolCentralБеларускаяБеларуская(тарашкевіца)БългарскиবাংলাBosanskiCatalàČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisFryskGaeilgeKriyòlgwiyannenGalegoעבריתहिन्दीHrvatskiKreyòlayisyenMagyarՀայերենBahasaIndonesiaIdoÍslenskaItaliano日本語PatoisJawaქართულიҚазақшаಕನ್ನಡ한국어LatinaLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംमराठीBahasaMelayuनेपालीNederlandsNorsknynorskNorskbokmålOccitanਪੰਜਾਬੀPolskiPiemontèisپنجابیPortuguêsRomânăРусскийScotsSrpskohrvatski/српскохрватскиසිංහලSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaChiShonaSoomaaligaShqipСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்తెలుగుไทยTürkçeТатарча/tatarçaУкраїнськаاردوOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệtWinarayWolof吴语ייִדיש文言粵語 編輯連結