[測度論] 非遞減函數必定可測 - 謝宗翰的隨筆

Claim: 令f:R→R 為非遞減(nondecreasing)函數，則f 為(BR,BR)-measurable 其中BR 為Borel σ-algebra. Proof: 令a∈R，並取開集E:=(a,∞)∈BR 。

我們 ... 跳到主要內容 [測度論]非遞減函數必定可測 3月06,2018 Claim: 令$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$為非遞減(nondecreasing)函數，則$f$為$(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})$-measurable其中$\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$為Borel$\sigma$-algebra Proof: 令$a\in\mathbb{R}$，並取開集$E:=(a,\infty)\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$。

我們要證明$f$可測，亦即要證明 \[ f^{-1}(E)=f^{-1}(a,\infty)=\{x\in\mathbb{R}:f(x)>a\}\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}} \]此等價證明$f^{-1}(E)$為$\mathbb{R}$上interval即可(因為所有intervalon$\mathbb{R}$generates$\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$)。

故取$c:=\inff^{-1}(E)$，則我們僅需證明 \[ f^{-1}(E)=(c,\infty) \] 以下我們分兩種情況討論： Case1: 若$c\inf^{-1}(E)$：首先證明$\subset:$取$x\inf^{-1}(E)$，則$f(x)>a$，則此$x\geqc$byinfimum性質。

接著我們證明$\supset$:取$x\in(c,\infty)$，則對任意$x\geqc$而言，由於$f$為非遞減，我們知道 \[ f(x)\geqf(c)>a \]此表明$x\inf^{-1}(E)$，故至此我們證得\[ f^{-1}(E)=(c,\infty) \] Case2:若$c\notinf^{-1}(E)$：首先證明$\subset:$取$x\inf^{-1}(E)$，則$f(x)>a$，則此$x\geqc$byinfimum性質。

接著我們證明$\supset$:取$x\in(c,\infty)$，則對任意$x\geqc$而言，必定存在$y\inf^{-1}(E)$使得$x>y\geqc$。

由於$f$為非遞減，我們知道 \[ f(x)\geqf(y) >a \]此表明$x\inf^{-1}(E)$，故至此我們證得\[ f^{-1}(E)=(c,\infty) \] 由上述兩類情況總結可知$f^{-1}(a,\infty)=(c,\infty)$interval，故其必定為Borelmeasurable且$f$isBorelmeasurable。

$\square$ 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 標籤 可測函數 測度論 MeasurableFunction Measure MeasureTheory Monotonicfunction 標籤： 可測函數 測度論 MeasurableFunction Measure MeasureTheory Monotonicfunction 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 留言 這個網誌中的熱門文章 [數學分析]淺談各種基本範數(Norm) 4月15,2010 這次要介紹的是數學上一個重要的概念：Norm：一般翻譯成範數(在英語中norm有規範的意思，比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件做正規化，也就是加上規範使其正常化)，不過個人認為其實翻譯成範數也是看不懂的...這邊建議把Norm想成長度就好(事實上norm是長度的抽象推廣)，也許讀者會認為好端端的長度不用，為何又要發明一個norm來自討苦吃??既抽象又艱澀。

事實上想法是這樣的：比如說現在想要比較兩個數字$3$,$5$之間的大小，則我們可以馬上知道$3<5$；同樣的，如果再考慮小數與無理數如$1.8753$與$\pi$，我們仍然可以比較大小$1.8753