108年大學學測數學科詳解 - 朱式幸福

108年大學學測數學科詳解. 108學年度學科能力測驗試題. 數學考科. 第壹部分：選擇題（占65 分） 一、單選題. 1. 點A(1,0)在單位圓Γ:x2+y2=1 A ( 1 ... 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2019年1月28日星期一 108年大學學測數學科詳解 108學年度學科能力測驗試題 數學考科 第壹部分：選擇題（占65分） 一、單選題 1.點\(A(1,0)在單位圓\Gamma:x^2+y^2=1\)上。

試問：\(\Gamma\)上除了\(A\)點以外，還有幾個點到直線\(L:y=2x\)的距離，等於\(A\)點到\(L\)的距離？ (1)1個 (2)2個 (3)3個 (4)4個 (5)0個 解： \(\Gamma\)為一單位圓，且圓心在原點；直線\(L\)經過圓心，因此除了A之外，還有B、C、D三點，它們至藍色線的距離都相等，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\) 解： $$x^{3}-x^{2}+4x-4=x^2(x-1)+4(x-1)=(x^2+4)(x-1)=0\\\Rightarrowx=1,\pm2i ,故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$ 解： $$2^{k}4^{m}8^{n}=512\Rightarrow2^{k}2^{2m}2^{3n}=512\Rightarrow2^{k+2m+3n}=2^{9}\Rightarrowk+2m+3n=9\\\Rightarrow\left(k,m,n\right)=\left(4,1,1\right),\left(2,2,1\right),\left(1,1,2\right),共3組解,故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$ 解： 三種肉:A,B,C；三種素菜:1,2,3 每道菜一定要有肉，每種食材只能用一次，因此三道菜各有一種肉； 三種素菜分成三群(三道菜)，三道菜的素菜可分成： (X,X,123)→3種，即(X,X,123),(X,123,X),(123,X,X)，加上肉類後三道菜為(AX,BX,C123),(AX,B1123,CX),(A123,BX,CX)，仍是三種配法。

(X代表沒有素菜) (X,1,23)→6種、(X,2,13)→6種、(X,3,12)→6種；(1,2,3)→6種； 因此共有3+6\times4=27種分配方法，故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\) 解： $$\left(\log{100} \right)\left(\log{b} \right)+\log{100}+\log{b}=7\Rightarrow2\log{b}+2+\log{b}=7\Rightarrow3\log{b}=5\\\Rightarrowb=10^{5/3}=10\cdot{10}^{2/3}=10\sqrt[3]{100}\Rightarrow10\sqrt[3]{64}-a_2>-a_3>\cdots\Rightarrowb_1>b_2>b_3>\cdots\) (2)\(-49>4\)，因此此選項不一定為真 (3)\(d_n=a_n+a_{n+1}=a_1+(n-1)\alpha+a_1+n\alpha=2a_1+(2n-1)\alpha\\\Rightarrowd_{n+1}=2a_1+(2n+1)\alpha\Rightarrowd_{n+1}-d_n=2\alpha\Rightarrow\)公差為\(2\alpha\) (4)\(e_n=a_n+n\Rightarrowe_{n+1}-e_n=a_{n+1}+n+1-a_n-n=\alpha+1\Rightarrow\)公差為\(\alpha+1\) (5)\(f_{n+1}-f_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n}}{n}=\frac{a_1+a_{n+1}}{2}-\frac{a_1+a_n}{2}=\alpha/2\Rightarrow\)公差為\(\alpha/2\) 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,4)}\) 解： (1)兩人背向移動，不會相遇 (2)兩人同向移動，乙的速度比甲快，乙會追上甲，兩者會相遇 (3)兩人面向移動，甲離原點距離8，乙離原點距離10，乙的速度需大於甲的10/8倍才會比甲先到達原點 (4)乙比甲快，時間越久，兩人距離越大 (5)甲離-2距離6，乙離-2距離12；若同時抵達代表乙的速度是甲的2倍，即a=2 故選\(\bbox[red,2pt]{(4,5)}\) 解： $$七個數字任取兩個，共有C^7_2=21種取法；\\ (1)和大於10:(4,7),(5,7),(5,6),(6,7)，共有4種取法，機率為\frac{4}{21}\\ (2)和小於5:(1,2),(1,3),共有2種取法,機率為\frac{2}{21}\\ (3)和為奇數:(1,2),(1,4),(1,6),(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,6),(4,5),(4,7),(5,6),(6,7),\\共有12種取法,機率為\frac{12}{21}=\frac{4}{7}\\ (4)差為偶數:(1,3),(1,5),(1,7),(2,4),(2,6),(3,5),(3,7),(4,6),(5,7),\\共有9種取法,機率為\frac{9}{21}=\frac{3}{7}\\ (5)積為奇數:(1,3),(1,5),(1,7),(3,5),(3,7),(5,7),共有6種取法,機率為\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\\ 故選\bbox[red,2pt]{(3,5)}$$ 解： $$(1)50^\circ\le\angleA\cos{\angleB}\\ (4)45^\circ<60^\circ\cos{\angleC}\\ (5)\angleC>\angleB>\angleA\Rightarrow\overline{AB}>\overline{AC}>\overline{BC}\\ 故選\bbox[red,2pt]{(1,2)}$$ 解： 全部500人=A+B+C+D+E+F、50-59歳的人有220人=A+C+D、60歳以上的人有280人=B+E+F； 120人做過大腸篩檢，即C+D+E+F=120，其中75名是1年前做的，即D+E=75；45名是1年內做的，即C+F=45； 又60歳以上的人做過篩檢的是50-59歲做過篩檢的3.5倍，即\(\frac{E+F}{280}=\frac{C+D}{220}\times3.5\)； (1)60歲以上的比率為\(280/500=0.56<0.6\) (2)\(\frac{C^{220}_2}{C^{500}_2}=\frac{220\times219}{500\times499}\approx0.2<0.25\) (3)\(\frac{C^{75}_1C^{45}_1}{C^{120}_2}=\frac{75\times45}{120\times119\div2}=2\cdot\frac{45}{120}\cdot\frac{75}{119}\) (4)\(\frac{500-120}{500}=\frac{380}{500}=0.76>0.75\) (5)$$\frac{E+F}{280}=\frac{C+D}{220}\times\frac{7}{2}\RightarrowE+F=\left(C+D\right)\times\frac{49}{11}\RightarrowC+D=\frac{11}{49}\left(E+F\right)\\C+D+E+F=120\Rightarrow\frac{11}{49}\left(E+F\right)+\left(E+F\right)=120\Rightarrow\frac{60}{49}\left(E+F\right)=120\\\RightarrowE+F=\frac{120\times49}{60}=98>90$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(3,5)}\) 解： $$\begin{cases}f_1(x)=p_1(x)g(x)+r_1(x)\\f_2(x)=p_2(x)g(x)+r_2(x)\end{cases}\\(1)-f_1(x)=-p_1(x)g(x)-r_1(x)\Rightarrow餘式為-r_1(x)\\(2)f_1(x)+f_2(x)=(p_1(x)+p_2(x))g(x)+r_1(x)+r_2(x)\Rightarrow餘式為r_1(x)+r_2(x)\\(3)r_1,r_2皆最高為1次式\Rightarrowr_1r_2可能為2次式，此時餘式不可能與除式g同為2次式\\(4)f_1(x)=p_1(x)g(x)+r_1(x)=-\frac{1}{3}p_1(x)\times(-3)g(x)+r_1(x)\Rightarrow餘式仍為r_1(x)\\(5)f_1r_2-f_2r_1=p_1gr_2+r_1r_2-p_2gr_1-r_1r_2=(p_1r_2-p_2r_1)g\Rightarrow可整除\\故選\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}$$ 解： $$令O=(0,0,0),A=(1,2,3),B=(-1,2,3)\Rightarrow\begin{cases}\vec{u}=\overrightarrow{OA}=(1,2,3)\\\vec{v}=\overrightarrow{OB}=(-1,2,3)\end{cases}\Rightarrow\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=(0,-6,4)\\ \RightarrowP:-6(y-2)+4(z-3)=0\Rightarrow3y-2z=0\\ (1)(0,3,2)與P之法向量\vec{n}=(0,-6,4)並未平行\\ (2)xy平面的方程式為z=0,其法向量為(0,0,1)與P之法向量\vec{n}=(0,-6,4)並未垂直\\ (3)(0,4,6)符合3y-2z=0\Rightarrow(0,4,6)在平面P上\\ (4)(a,0,0)符合3y-2z=0\Rightarrowx軸在平面P上\\ (5)(1,1,1)至3y-2z=0的距離為\left|\frac{3-2}{\sqrt{3^2+2^2}}\right|=\frac{1}{\sqrt{13}}\ne1\\ 故選\bbox[red,2pt]{(3,4)}$$ 第貳部分：選填題 解：$$\left[\begin{matrix}3&-1&3\\2&4&-1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right]\Rightarrow\begin{cases}3x-y+3=6\\2x+4y-1=-6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3x-y=3\cdots(1)\\2x+4y=-5\cdots(2)\end{cases}\\ 由(1)知y=3x-3代入(2)\Rightarrow2x+4(3x-3)=-5\Rightarrow14x=7\Rightarrowx=1/2\\\Rightarrowy=3\times(1/2)-3=-3/2\Rightarrowx+3y=\frac{1}{2}+3\times\frac{-3}{2}=-4$$ 答：\(\bbox[red,2pt]{(-4)}\) 解： 由橢圓形方程式可知\(\overline{OB}=4,\overline{OA}=a\Rightarrow\)菱形\(ABCD\)面積為\(\frac{1}{2}\times4a\times4=8a=58\Rightarrowa=\frac{58}{8}=\frac{29}{4}\) 答：\(\bbox[red,2pt]{\frac{29}{4}}\) 解： 跑道長度固定400公尺，則直徑為足球練習場的寬度(即60)有最長的\(\overline{AB}\)。

此題相當於求上圖的\(a\)值，使得\(2\overline{AB}\)加上圓周長為400，即 \(2(90+a)+60\pi=400\Rightarrow90+a=200-30\pi\Rightarrowa=110-30\pi=15.75\) 因此\(\overline{AB}=90+15.75=105.75\)，跑道長度只能比這個數字小，取整數只能是105。

答：\(\bbox[red,2pt]{105}\) 解： 領公投票的數量以三個圈圈來表示(見上圖)，其中A、B...、G代表不重疊的區域。

甲案有765票→A+D+E+G=765；乙案有537票→B+D+F+G=537；丙案有648票→C+E+F+G=648 同時領甲、乙、丙的有224→G=224；每個人至少領了兩張票→A=B=C=0； 求同時領甲、乙兩案，但沒有領丙案的人數，即求D值？$$\begin{cases}D+E+G=765\\D+F+G=537\\E+F+G=648\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}D+E=541\cdots(1)\\D+F=313\cdots(2)\\E+F=424\cdots(3)\end{cases}\Rightarrow(1)+(2)+(3)\Rightarrow2(D+E+F)=1278\\\RightarrowD+E+F=639\cdots(4)\Rightarrow(4)-(3)\RightarrowD=639-424=215$$ 答：\(\bbox[red,2pt]{215}\) 解： $$\angleBED=180-\angleAEB=180-120=60\Rightarrow\triangleBDE為正\triangle\Rightarrow\overline{BD}=7\\又\angleADB=\angleCAD+\angleC\Rightarrow60=\angleCAD+30\Rightarrow\angleCAD=60-30=30\Rightarrow\overline{DA}=\overline{DC}=15\\在\triangleDAB中:\cos{\angleADB=\frac{\overline{AD}^2+\overline{DB}^2-\overline{AB}^2}{2\overline{DA}\times\overline{DB}}}\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{15^2+7^2-\overline{AB}^2}{2\times15\times7}\\\Rightarrow274-\overline{AB}^2=105\Rightarrow\overline{AB}^2=169\\\Rightarrow\overline{AB}=13$$ 答：\(\bbox[red,2pt]{13}\) 解： 假設正立方體的邊長為\(a\)，一頂點坐標為\(A=(0,0,0)\)，則\(A\)之對頂點\(B=(a,a,a)\)； 由題意可知\(\overline{AB}=6\Rightarrow3a^2=36\Rightarrowa^2=12\Rightarrowa=2\sqrt{3}\) 答：\(\bbox[red,2pt]{2\sqrt{3}}\) G.如圖(此為示意圖)，\(A,B,C,D\)為平面上的四個點。

已知\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{BD}\)兩向量等長且互相垂直，則\(\tan{\angleBAD}=?\) 解： $$假設\cases{A(0,0)\\B(m,n)\\C(a,0)}，由於\cases{\overline{AC}=\overline{BD}=a\\\overline{AC}\bot\overline{BD}}\RightarrowD(m,n+a)；\\又\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow(a-m,-n)=(m,n)+(m,n+a)=(2m,2n+a)\\\Rightarrow\cases{n=-m\\a=3m}\Rightarrow\cases{B(m,-m)\\C(3m,0)\\D(m,2m)}\Rightarrow\cases{\overleftrightarrow{AB}:x+y=0\\\overleftrightarrow{CD}:x+y=3m}\\過D(m,2m)且垂直\overleftrightarrow{AB}的直線L:x-y=-m與\overleftrightarrow{AB}的交點F(-m/2,m/2)\Rightarrow\cases{\overline{FA}=m/\sqrt2\\\overline{FD}=3m/\sqrt2}\\\Rightarrow\tan\angleFAD=\overline{FD}/\overline{FA}=3\Rightarrow\tan\angleBAD=\bbox[red,2pt]{-3}$$ 張貼者： C.-H.Chu 於 上午9:19 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 高中數學, 學測 11則留言: Unknown2021年7月23日凌晨3:16多選12第三選項：r1、r2未必皆是一次式吧他們也有可能是零次式或整除或整除回覆刪除回覆C.-H.Chu2021年7月23日上午9:09略作文字修訂,謝謝!刪除回覆回覆回覆匿名2021年10月1日晚上7:43請問如何確定AE向量的E會落在CD上？回覆刪除回覆匿名2021年10月1日晚上7:44忘記備註題號，第G題刪除回覆回覆C.-H.Chu2021年10月1日晚上9:48謝謝提醒，已修訂，這樣應該比較簡明易懂!!刪除回覆回覆回覆Unknown2021年10月24日晚上11:0412題的(5)是不是應為:f1r2-f2r1=p1gr2+r1r2-p2gr1-r1r2打成了f1r2-f2r1=p1gr2+r1r2-p2gr2-r1r2待請指教回覆刪除回覆C.-H.Chu2021年10月25日晚上7:55謝謝提醒,的確打錯一個字,已修訂!!!刪除回覆回覆回覆匿名2022年1月2日凌晨2:41您好，第九題的（1）似乎不包含（3.7）（4.6）的部分，不知我理解是否有錯？回覆刪除回覆C.-H.Chu2022年1月2日上午10:08對!不應包含(3,7)與(4,6)已修訂,謝謝!刪除回覆回覆回覆Unknown2022年1月4日清晨7:27第二部分的，c，110-3π=15.77回覆刪除回覆C.-H.Chu2022年1月5日下午2:12π=3.14159=>110-30π=15.7523;若π=3.14=>110-30π=15.8;差不多啦!!!刪除回覆回覆回覆新增留言載入更多… 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 標籤 319鄉 (3) 工程數學 (70) 公費留考 (1) 心得 (3) 目次 (7) 身障升大學 (17) 身障升四技 (37) 指考 (43) 研討會 (45) 科學班 (5) 海外遊 (30) 特招 (26) 高中數學 (258) 高普考 (122) 高職數學 (183) 國小數學 (2) 國中數學 (103) 國內遊 (54) 基測 (24) 教甄 (92) 教檢 (2) 單車 (39) 統計 (50) 統測 (79) 微分方程 (9) 微積分 (35) 會考 (13) 路跑 (11) 運動績優 (16) 電腦管理 (22) 臺澎金馬 (6) 論文徵稿 (2) 學力鑑定 (40) 學測 (15) 應用數學 (2) 轉學考 (41) 警專 (26) DIY (58) GeoGebra (5) GIMP (1) LaTex (5) matlab (18) octave (25) python (8) R (1) Scratch程式設計 (7) 熱門文章 110年國中教育會考-數學詳解 108年國中教育會考數學詳解 109年國中教育會考數學詳解 107年國中教育會考數學詳解 104年國中會考數學詳解 網誌存檔 ►  2022 (43) ►  三月 (7) ►  二月 (26) ►  一月 (10) ►  2021 (137) ►  十二月 (20) ►  十一月 (13) ►  十月 (4) ►  九月 (7) ►  八月 (15) ►  七月 (11) ►  六月 (14) ►  五月 (16) ►  四月 (4) ►  三月 (17) ►  二月 (7) ►  一月 (9) ►  2020 (130) ►  十二月 (11) ►  十一月 (11) ►  十月 (8) ►  九月 (5) ►  八月 (10) ►  七月 (16) ►  六月 (20) ►  五月 (11) ►  四月 (5) ►  三月 (11) ►  二月 (14) ►  一月 (8) ▼  2019 (120) ►  十二月 (17) ►  十一月 (7) ►  十月 (4) ►  九月 (26) ►  八月 (14) ►  七月 (12) ►  六月 (7) ►  五月 (7) ►  四月 (5) ►  三月 (6) ►  二月 (9) ▼  一月 (6) 108年公務人員初等考試-統計詳解 108年大學學測數學科詳解 鍍鉻架組裝DIY GeoGebra--求矩陣的特徵值(eigenvalue)及特徵向量(eigenvector) GeoGebra--矩陣的基本輸入及運算 台北大縱走輕鬆集字--臺 ►  2018 (123) ►  十二月 (16) ►  十一月 (12) ►  十月 (9) ►  九月 (10) ►  八月 (14) ►  七月 (9) ►  六月 (10) ►  五月 (11) ►  四月 (5) ►  三月 (11) ►  二月 (10) ►  一月 (6) ►  2017 (49) ►  十二月 (7) ►  十一月 (10) ►  十月 (5) ►  九月 (7) ►  八月 (2) ►  七月 (4) ►  六月 (2) ►  五月 (6) ►  四月 (1) ►  三月 (2) ►  二月 (1) ►  一月 (2) ►  2016 (89) ►  十二月 (1) ►  十一月 (1) ►  十月 (1) ►  九月 (4) ►  七月 (4) ►  六月 (31) ►  五月 (26) ►  四月 (5) ►  三月 (4) ►  二月 (9) ►  一月 (3) ►  2015 (29) ►  十二月 (2) ►  十一月 (3) ►  九月 (3) ►  八月 (4) ►  七月 (4) ►  五月 (1) ►  四月 (1) ►  三月 (4) ►  二月 (5) ►  一月 (2) ►  2014 (65) ►  十二月 (6) ►  十一月 (5) ►  十月 (4) ►  九月 (1) ►  八月 (4) ►  七月 (6) ►  六月 (9) ►  五月 (7) ►  四月 (1) ►  三月 (9) ►  二月 (8) ►  一月 (5) ►  2013 (83) ►  十二月 (4) ►  十一月 (7) ►  十月 (8) ►  九月 (5) ►  八月 (8) ►  七月 (8) ►  六月 (6) ►  五月 (6) ►  四月 (9) ►  三月 (5) ►  二月 (9) ►  一月 (8) ►  2012 (60) ►  十二月 (10) ►  十一月 (10) ►  十月 (18) ►  九月 (15) ►  八月 (1) ►  七月 (1) ►  六月 (3) ►  五月 (1) ►  一月 (1) ►  2011 (2) ►  七月 (1) ►  一月 (1) 總網頁瀏覽量 關於我自己 C.-H.Chu 不用補習也可以把數學學好..... 檢視我的完整簡介 pline