級數- 維基百科，自由的百科全書

一致收斂 級數 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 此條目已經列出參考文獻，但是文內引註不足，部分內容的來源仍然不明。

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  此條目介紹的是一個序列的總和。

關於用序列表述的一串數字，請見「數列」。

無窮級數 ζ ( s ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k s {\displaystyle\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{s}}}} 無窮級數 審斂法 項測試·比較判別法·極限比較檢驗法·根值審斂法·達朗貝爾判別法·柯西判別法·柯西並項判別法·拉比判別法·高斯判別法·積分判別法·魏爾施特拉斯判別法·貝特朗判別法·狄利克雷判別法·阿貝爾判別法·庫默爾判別法·斯托爾茲－切薩羅定理·迪尼判別法 級數 調和級數·p-級數·冪級數·泰勒級數·傅立葉級數 閱論編 級數（英語：Series）是數學中一個有窮或無窮的序列例如 u 1 , u 2 , u 3 , u 4 … {\displaystyleu_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\ldots} 之和，即 s = u 1 + u 2 + u 3 + … {\displaystyles=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots} ，如果序列是有窮序列，其和稱為有窮級數；反之，稱為無窮級數（一般也簡稱為級數）。

序列 u 0 , u 1 , u 2 , … {\displaystyleu_{0},u_{1},u_{2},\ldots} 中的項稱作級數的通項（或一般項）。

級數的通項可以是實數、矩陣或向量等常量，也可以是關於其他變量的函數，不一定是一個數。

一般的，如果級數的通項是常量，則稱之為常數項級數，如果級數的通項是函數，則稱之為函數項級數。

常見的簡單有窮數列的級數包括等差數列和等比數列的級數。

有窮數列的級數一般通過初等代數的方法就可以求得。

無窮級數有發散和收斂的區別，稱為無窮級數的斂散性。

判斷無窮級數的斂散性是無窮級數研究中的主要工作。

無窮級數在收斂時才會有一個和；發散的無窮級數在一般意義上沒有和，但可以用一些別的方式來定義。

無窮級數的研究更多的需要數學分析的方法來解決。

無窮級數一般寫作 u 1 + u 2 + u 3 + … {\displaystyle\textstyleu_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots} 、 ∑ u n {\displaystyle\textstyle\sumu_{n}} 或者 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} ，級數收斂時，其和通常被表示為 s = ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyles=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} ，其中符號 ∑ {\displaystyle\sum} 稱為求和號。

目次 1無窮級數的定義 2無窮級數的斂散性 2.1任意項級數 2.2條件收斂 2.3絕對收斂 3收斂級數的性質 4無窮級數的研究歷史 4.1對審斂法的研究 4.2對一致連續性的研究 5類別 5.1幾何級數 5.2調和級數 5.3'"`UNIQ--postMath-00000048-QINU`"'-級數 5.4裂項級數 5.5泰勒級數 5.6交錯級數 5.7冪級數 5.8傅立葉級數 6常數項無窮級數審斂法 6.1正項級數 6.1.1比較判別法 6.1.2達朗貝爾判別法 6.1.3柯西收斂準則 6.2交錯級數 6.2.1萊布尼茨判別法 6.3任意項級數 7函數項級數 7.1收斂域 7.2一致收斂 7.3絕對收斂 7.4冪級數 7.4.1冪函數的收斂域 7.4.2冪級數的和函數 8漸進級數 9發散級數的和 10推廣 11參見 12注釋 13參考文獻 13.1參考書目 無窮級數的定義[編輯] 設 ( u n ) {\displaystyle(u_{n})} 是一個無窮序列： u 1 , u 2 , u 3 , … , u n , … {\displaystyleu_{1},u_{2},u_{3},\ldots,u_{n},\ldots} ，其前n項的和稱為 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 的部分和： s n = u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n {\displaystyles_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots+u_{n}} ( u n ) {\displaystyle(u_{n})} 部分和依次構成另一個無窮序列： s 1 , s 2 , s 3 , … , s n , … {\displaystyles_{1},s_{2},s_{3},\ldots,s_{n},\ldots} 這兩個序列合稱為一個級數，記作 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 或者 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} 。

無窮級數的斂散性[編輯] 對於級數 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} ，如果當 n {\displaystylen} 趨於正無窮大時， s n {\displaystyles_{n}} 趨向一個有限的極限： s = lim n → ∞ s n {\displaystyles=\lim_{n\to\infty}s_{n}} ，那麼這個無窮級數就叫做是收斂的， s {\displaystyles} 叫做級數 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} 的和。

如果極限不存在，這個無窮級數就是發散的。

收斂的無窮級數存在唯一的一個和 s {\displaystyles} 。

這時可以定義級數 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 的餘項和： R n = S − S n {\displaystyleR_{n}=S-S_{n}} 。

任意項級數[編輯] 如果級數 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} 中的各項可以是正數，負數或零，則級數 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} 稱為任意項級數。

將任意項級數各項 u n {\displaystyleu_{n}} 取絕對值，得到正項級數。

∑ n = 1 ∞ | u n | = | u 1 | + | u 2 | + | u 3 | + ⋯ + | u n | + ⋯ {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|=|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+\cdots+|u_{n}|+\cdots} 條件收斂[編輯] 如果任意項級數 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} 收斂，而級數 ∑ n = 1 ∞ | u n | {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|} 發散，則稱級數 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} 條件收斂。

絕對收斂[編輯] 如果級數 ∑ n = 1 ∞ | u n | {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|} 收斂，則稱級數絕對收斂 定理：如果任意項級數 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} 的各項的絕對值所組成的正項級數 ∑ n = 1 ∞ | u n | {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|} 收斂，則級數 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} 收斂。

證明： 令 a n = 1 2 ( | u n | + u n ) , b n = 1 2 ( | u n | − u n ) {\displaystylea_{n}={\frac{1}{2}}(|u_{n}|+u_{n}),b_{n}={\frac{1}{2}}(|u_{n}|-u_{n})} 於是，有 0 ≤ a n ≤ | u n | , 0 ≤ b n ≤ | u n | {\displaystyle0\leqa_{n}\leq|u_{n}|,0\leqb_{n}\leq|u_{n}|} 因為 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}} , ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}} 均為正項級數，且 ∑ n = 1 ∞ | u n | {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|} 收斂，由比較審斂法知，級數 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}} 和 ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}} 收斂 又因為 ∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ ( a n − b n ) {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}-b_{n})} ,所以由級數的定義可得，級數 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} 收斂。

該定理表明，如果級數 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} 絕對收斂，則級數 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}} 必收斂。

收斂級數的性質[編輯] 若一個無窮級數 ∑ u n   :   u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯ {\displaystyle\sumu_{n}\:\u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots+u_{n}+\cdots} 收斂，其和為 s {\displaystyles} ，則如果每一項乘以一個常數 a {\displaystylea} ，得到的級數 ∑ a u n :   a u 1 + a u 2 + a u 3 + ⋯ + a u n + ⋯ {\displaystyle\sumau_{n}:\au_{1}+au_{2}+au_{3}+\cdots+au_{n}+\cdots} 也收斂，且和等於as。

收斂的無窮級數可以逐項相加或相減，如有兩個無窮級數： ∑ n = 1 ∞ u n = s {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}=s} 和 ∑ n = 1 ∞ v n = t {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}=t} ，則 ∑ n = 1 ∞ ( u n ± v n ) = s ± t {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}\pmv_{n})=s\pmt} . 級數前面加上有限項或減去有限項不影響其斂散性，如： s = u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯ {\displaystyles=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots+u_{n}+\cdots} 和 s = u 12 + u 15 + u 16 + u 17 + ⋯ + u n + ⋯ {\displaystyles=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+\cdots+u_{n}+\cdots} 這兩個級數的斂散性是一樣的。

當 n {\displaystylen} 趨向無限大時，任何一個收斂級數的通項都趨於0： lim n → ∞ u n = 0 {\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_{n}=0} 在一個完備空間中，也可以運用柯西收斂的準則來判斷級數是否收斂：一個無窮級數 ∑ n = 1 + ∞ u n {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}} 收斂的充要條件是，對任意 ϵ > 0 {\displaystyle\epsilon>0} ，總存在 N 0 > 0 {\displaystyleN_{0}>0} ，使得任意的 n > m > N 0 {\displaystylen>m>N_{0}} ， | s n − s m | = | ∑ k = m + 1 n u k | = | u m + 1 + u m + 2 + ⋯ + u n | < ϵ {\displaystyle|s_{n}-s_{m}|=|\sum_{k=m+1}^{n}u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots+u_{n}| 1 {\displaystylep>1} 時收斂，當 p ≤ 1 {\displaystylep\leq1} 時發散。

這可以由積分比較審斂法得出。

函數 ζ : p ↦ U p {\displaystyle\zeta:p\mapstoU_{p}} 是黎曼ζ函數在實軸大於1的部分的限制，關於黎曼 ζ {\displaystyle\zeta} 函數有著名的黎曼猜想。

特別地，當 p = 1 {\displaystylep=1} 時， p {\displaystylep} -級數即為調和級數。

裂項級數[編輯] ∑ n = 1 ∞ ( b n − b n + 1 ) {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(b_{n}-b_{n+1})} 收斂若且唯若數列 b n {\displaystyleb_{n}} 收斂到某個極限 L {\displaystyleL} ，並且這時級數的和是 b 1 − L {\displaystyleb_{1}-L} 。

泰勒級數[編輯] 主條目：泰勒級數 泰勒級數是關於一個光滑函數 f {\displaystylef} 在一點 a {\displaystylea} 附近取值的級數。

泰勒函數由函數在點 a {\displaystylea} 的各階導數值構成，具體形式為： ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}} 這是一個冪級數。

如果它在 a {\displaystylea} 附近收斂，那麼就稱函數 f {\displaystylef} 在點 a {\displaystylea} 上是解析的。

交錯級數[編輯] 具有以下形式的級數 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}\!} 其中所有的 a n {\displaystylea_{n}} 非負，被稱作交錯級數。

交錯級數的收斂通常要藉助萊布尼茨判別法。

冪級數[編輯] 主條目：冪級數 形同 ∑ a n ( x − x 0 ) n {\displaystyle\suma_{n}(x-x_{0})^{n}} 的函數項無窮級數稱為 x − x 0 {\displaystylex-x_{0}} 的冪級數。

它的收斂與否和係數 a n {\displaystylea_{n}} 有關。

傅立葉級數[編輯] 主條目：傅立葉級數 任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示，稱為傅立葉級數。

傅立葉級數是函數項無窮級數，也就是說每項都是一個函數。

傅立葉級數在數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

例如，周期為 2 π {\displaystyle2\pi} 的周期函數 f ( x ) {\displaystylef(x)} 可以表示為： f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystylef(x)={\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cosnx+b_{n}\sinnx),n=1,2,3,\ldots} 其中， a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x {\displaystylea_{n}={\frac{1}{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cosnxdx} ， b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x {\displaystyleb_{n}={\frac{1}{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sinnxdx} ，特別的， a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x {\displaystylea_{0}={\frac{1}{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx} 常數項無窮級數審斂法[編輯] 主條目：審斂法 正項級數[編輯] 若通項為實數的無窮級數 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 每一項 u n {\displaystyleu_{n}} 都大於等於零，則稱 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 是一正項級數。

如果無窮級數 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 是正項級數，則部分和 S n {\displaystyleS_{n}} 是一個單調遞增數列。

由數列極限的判別準則：單調有界數列必有極限。

因此，倘若部分和數列Sn有界， ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 收斂，且 lim n → ∞ S n = s {\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n}=s} ;反之，若部分和數列趨於正無窮，級數發散。

比較判別法[編輯] 設 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 和 ∑ v n {\displaystyle\sumv_{n}} 是正項級數。

如果存在正實數 M {\displaystyleM} ，使得從若干項開始， u n ≤ M v n {\displaystyleu_{n}\leqMv_{n}} （也就是說 u n = O ∞ ( v n ) {\displaystyleu_{n}=O_{\infty}(v_{n})} ），則 當 ∑ v n {\displaystyle\sumv_{n}} 收斂時，可推出 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 也收斂。

當 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 發散時，可推出 ∑ v n {\displaystyle\sumv_{n}} 也發散。

如果 lim n → ∞ u n v n = 0 {\displaystyle\lim_{n\to\infty}{u_{n}\overv_{n}}=0} ，則 當 ∑ v n {\displaystyle\sumv_{n}} 收斂時，可推出 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 也收斂。

當 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 發散時，可推出 ∑ v n {\displaystyle\sumv_{n}} 也發散。

如果 lim n → ∞ u n v n = 1 {\displaystyle\lim_{n\to\infty}{u_{n}\overv_{n}}=1} 或其它有限數，則 ∑ v n {\displaystyle\sumv_{n}} 和 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 同時收斂或發散。

比如，我們已知級數： ∑ 1 n 2 {\displaystyle\sum{1\overn^{2}}} 收斂，則級數： ∑ | sin ⁡ n | n 2 {\displaystyle\sum{|\sinn|\overn^{2}}} 也收斂，因為對任意的 n {\displaystylen} ， sin ⁡ n ≤ 1 {\displaystyle\sinn\leq1} 。

比較判別法的特點是要已知若干級數的斂散性。

一般來說，我們可以選擇比較簡單的級數： U p = ∑ 1 n p {\displaystyleU_{p}=\sum{1\overn^{p}}} 作為「標準級數」，依此判斷其他函數的斂散性。

需要知道的是當 p ≤ 1 {\displaystylep\leq1} 時， U p {\displaystyleU_{p}} 發散，當 p > 1 {\displaystylep>1} 時， U p {\displaystyleU_{p}} 收斂。

達朗貝爾判別法[編輯] 主條目：達朗貝爾審斂法 在比較判別法中，如果取幾何級數為比較的標準級數，可得： 設 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 是通項大於零的正項級數。

並且 lim n → ∞ u n + 1 u n = p {\displaystyle\lim_{n\to\infty}{u_{n+1}\overu_{n}}=p} ，則 當 p < 1 {\displaystylep<1} 時，級數 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 收斂。

當 p > 1 {\displaystylep>1} 時，級數 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 發散。

當 p = 1 {\displaystylep=1} 時，級數 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為比值判別法或比值審斂法。

柯西收斂準則[編輯] 主條目：根值審斂法 設 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 是正項級數。

並且 lim n → ∞ u n n = p {\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\sqrt[{n}]{u_{n}}}=p} ，則 當 p < 1 {\displaystylep<1} 時，級數 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 收斂。

當 p > 1 {\displaystylep>1} 時，級數 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 發散。

當 p = 1 {\displaystylep=1} 時，級數 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為根值判別法或根值審斂法'。

交錯級數[編輯] 主條目：交錯級數判別法 具有以下形式的級數 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}\!} 其中所有的 a n {\displaystylea_{n}} 非負，被稱作交錯級數。

萊布尼茨判別法[編輯] 主條目：萊布尼茨審斂法 在上述的級數 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}\!} 中，如果當 n {\displaystylen} 趨於無窮時,數列 a n {\displaystylea_{n}} 的極限存在且等於0，並且每個 a n {\displaystylea_{n}} 小於 a n − 1 {\displaystylea_{n-1}} （即,數列 a n {\displaystylea_{n}} 是單調遞減的），那麼級數收斂。

任意項級數[編輯] 對於通項為任意實數的無窮級數 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} ，將級數 ∑ | u n | {\displaystyle\sum|u_{n}|} 稱為它的絕對值級數。

可以證明，如果 ∑ | u n | {\displaystyle\sum|u_{n}|} 收斂，那麼 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 也收斂，這時稱 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 絕對收斂。

如果 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 收斂，但是 ∑ | u n | {\displaystyle\sum|u_{n}|} 發散，則稱 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 條件收斂。

比如說，級數 ∑ sin ⁡ n n 2 {\displaystyle\sum{\sinn\overn^{2}}} 絕對收斂，因為前面已經證明 ∑ | sin ⁡ n | n 2 {\displaystyle\sum{|\sinn|\overn^{2}}} 收斂。

而級數 ∑ ( − 1 ) n n {\displaystyle\sum{(-1)^{n}\overn}} 是條件收斂的。

它自身收斂到 ln ⁡ 1 2 {\displaystyle\ln{1\over2}} ，但是它的絕對值級數 ∑ 1 n {\displaystyle\sum{1\overn}} 是發散的。

黎曼級數定理說明，如果一個無窮級數 ∑ u n {\displaystyle\sumu_{n}} 條件收斂，那麼對於任意的實數 x {\displaystylex} ，存在一個正整數到正整數的雙射 σ {\displaystyle\sigma} ，使得級數 ∑ u σ ( n ) {\displaystyle\sumu_{\sigma(n)}} 收斂到 x {\displaystylex} 。

對於正負無窮大，上述雙射也存在。

函數項級數[編輯] 設 ( u n ( x ) ) n ≥ 0 {\displaystyle(u_{n}(x))_{n\geq0}} 為定義在區間 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 上的函數列，則表達式： u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + ⋯ + u n ( x ) + ⋯ {\displaystyleu_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots} 稱為函數項級數，簡記為 ∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 。

對函數項級數的主要研究是： 確定對哪些 x {\displaystylex} ， ∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 收斂。

∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 收斂的話，其和是什麼，有什麼性質？ 收斂域[編輯] 對區間 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 上的每個 x 0 {\displaystylex_{0}} ，級數 ∑ u n ( x 0 ) {\displaystyle\sumu_{n}(x_{0})} 是常數項級數。

若 ∑ u n ( x 0 ) {\displaystyle\sumu_{n}(x_{0})} 收斂，則稱 x 0 {\displaystylex_{0}} 是 ∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 的一個收斂點， ∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 全體收斂點的集合稱為它的收斂域。

若 ∑ u n ( x 0 ) {\displaystyle\sumu_{n}(x_{0})} 發散，則稱 x 0 {\displaystylex_{0}} 是 ∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 的一個發散點， ∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 全體發散點的集合稱為它的發散域。

∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 在其收斂域的每一點上都有定義，因此定義了一個函數，稱為 ∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 的和函數，記為 S ( x ) {\displaystyleS(x)} 。

按照定義， S ( x 0 ) = lim n → ∞ S n ( x 0 ) {\displaystyleS(x_{0})=\lim_{n\to\infty}S_{n}(x_{0})} ，其中 S n ( x 0 ) = u 1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + ⋯ + u n ( x 0 ) {\displaystyleS_{n}(x_{0})=u_{1}(x_{0})+u_{2}(x_{0})+\cdots+u_{n}(x_{0})} 為函數項級數在 x 0 {\displaystylex_{0}} 點上的部分和。

一致收斂[編輯] 主條目：一致收斂 函數項級數的取值可以在它的收斂域上用和函數定義，但和函數的性質可能會和級數的每一項不同。

比如說，當函數項級數 ∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 中的每一項 u n ( x ) {\displaystyleu_{n}(x)} 在收斂域上都是連續函數時，和函數未必會是連續函數。

以下是一個例子： 設 u n ( x ) = x n − x n + 1 {\displaystyle\displaystyleu_{n}(x)=x^{n}-x^{n+1}} ，也就是說 u 0 ( x ) = 1 − x {\displaystyle\displaystyleu_{0}(x)=1-x} ， u 1 ( x ) = x − x 2 {\displaystyle\displaystyleu_{1}(x)=x-x^{2}} 等等，它們顯然都是連續函數（甚至是光滑函數）。

這時函數項級數在 x {\displaystylex} 點上的部分和 S n ( x ) = ∑ k = 0 n ( x k − x k + 1 ) = 1 − x n + 1 {\displaystyleS_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}} 。

在區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle[0,1]} 的每一點上，部分和都有極限： 當 x ≠ 1 {\displaystylex\neq1} 時， S n ( x ) → 1 {\displaystyleS_{n}(x)\rightarrow1} 當 x = 1 {\displaystyle\displaystylex=1} 時， S n ( x ) → 0 {\displaystyleS_{n}(x)\rightarrow0} 於是在區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle[0,1]} 上，級數 ∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 收斂，其和函數 S ( x ) {\displaystyleS(x)} 為： 當 0 ≤ x < 1 {\displaystyle0\leqx<1} 時， S ( x ) = 1 {\displaystyleS(x)=1} ； S ( 1 ) = 0 {\displaystyleS(1)=0} 。

這不是一個連續函數。

然而，如果函數項級數能夠滿足某些更嚴格的條件的話，可以證明級數的和函數的規則性將會等於每一項函數的規則性，這就是所謂的一致收斂性質。

和函數列的一致收斂性質一樣，函數項級數 ∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 在某個區間 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 內（關於某個範數 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle\left\|\cdot\right\|} ）一致收斂的定義是它的部分和函數 S n {\displaystyleS_{n}} 在區間 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 上一致收斂到和函數 S {\displaystyleS} ， lim n → ∞ ‖ S − S n ‖ I = 0 {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|S-S_{n}\right\|_{\mathcal{I}}=0} 或者寫成 lim n → ∞ ‖ ∑ k = n ∞ u k ‖ I = 0 {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\sum_{k=n}^{\infty}u_{k}\right\|_{\mathcal{I}}=0} 可以證明： 如果級數 ∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 在區間 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 內一致收斂，並且每個 u n ( x ) {\displaystyleu_{n}(x)} 都是連續函數，那麼和函數 S {\displaystyleS} 在區間 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 上也是連續函數。

進一步的，如果導函數級數的每一項都是 C p {\displaystyle{\mathcal{C}}^{p}} 函數（ p {\displaystylep} 階連續可微函數），並且各階導函數級數 ∑ u n ( x ) , ∑ u n ( 1 ) ( x ) , ∑ u n ( 2 ) ( x ) , … , ∑ u n ( p ) ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x),\sumu_{n}^{(1)}(x),\sumu_{n}^{(2)}(x),\ldots,\sumu_{n}^{(p)}(x)} 在區間 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 內都一致收斂，那麼級數和函數 S ( x ) = ∑ u n ( x ) {\displaystyleS(x)=\sumu_{n}(x)} 也是 C p {\displaystyle{\mathcal{C}}^{p}} 函數，並且： ∀ 0 ≤ i ≤ p {\displaystyle\forall0\leqi\leqp} ， S ( i ) ( x ) = ∑ u n ( i ) ( x ) {\displaystyleS^{(i)}(x)=\sumu_{n}^{(i)}(x)} 。

絕對收斂[編輯] 函數項級數也有絕對收斂的概念。

對於某個給定的區間 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 和範數 ‖ ⋅ ‖ I {\displaystyle\left\|\cdot\right\|_{\mathcal{I}}} ，函數項級數 ∑ u n ( x ) {\displaystyle\sumu_{n}(x)} 在區間 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 內絕對收斂，若且唯若常數級數 ∑ ‖ u n ‖ I {\displaystyle\sum\left\|u_{n}\right\|_{\mathcal{I}}} 收斂。

絕對收斂的（連續？）函數在每一點都收斂，並且在區間 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 內一致收斂。

[來源請求] 冪級數[編輯] 主條目：冪級數 形同 ∑ a n ( x − x 0 ) n {\displaystyle\suma_{n}(x-x_{0})^{n}} 的函數項無窮級數稱為 x − x 0 {\displaystylex-x_{0}} 的冪級數。

一般只需討論形同 ∑ a n x n {\displaystyle\suma_{n}x^{n}} 的冪級數。

冪函數的收斂域[編輯] 根據阿貝爾定理，它的收斂域是一個關於零對稱的區間，即為 ( − R , R ) {\displaystyle(-R,R)} （可開可閉）的形式。

這個正數 R {\displaystyleR} （可以是無窮大）叫做冪級數的收斂半徑。

並有定理： 設冪級數 ∑ a n x n {\displaystyle\suma_{n}x^{n}} 滿足 lim n → ∞ a n + 1 a n = ρ {\displaystyle\lim_{n\to\infty}{a_{n+1}\overa_{n}}=\rho} ，則： ρ {\displaystyle\rho} 是正實數時， R = 1 ρ {\displaystyleR={1\over\rho}} 。

ρ = 0 {\displaystyle\rho=0} 時， R = ∞ {\displaystyleR=\infty} 。

ρ = ∞ {\displaystyle\rho=\infty} 時， R = 0 {\displaystyleR=0} 。

冪級數的和函數[編輯] 求解冪級數的和函數有時需要利用先對各項積分（或求導）以得到一個方便利用已有公式進行求和的形式，在求和後在對各項求導（或積分）。

漸進級數[編輯] 漸進級數是用來對某些函數的間斷點附近的情況進行逼近的級數。

漸進級數一般是發散的，它的部分和趨於無窮大，因此可以很好地逼近一個趨於無窮大的函數。

但要注意的是，漸進級數提供的逼近是相對的，即只是比值趨於一致，與函數值之間的誤差並不像收斂的級數一樣趨於無窮小。

一般來說，漸進級數在若干項後便達到最小的絕對誤差，之後的絕對誤差一般會增大甚至趨於無窮。

發散級數的和[編輯] 主條目：發散級數 發散級數的部分和沒有極限，但是在應用中可以使用比較弱的級數和定義，比如切薩羅求和、阿貝爾求和以及歐拉求和。

推廣[編輯] 級數的概念可以在任何的對稱拓撲群中定義，常用的是在一個巴拿赫空間（比如實數或複數空間）中。

參見[編輯] 收斂 發散級數 函數級數（英語：functionseries） 求和變換 阿貝爾定理 黎曼級數定理 柯西-阿達馬公式 注釋[編輯] 參考文獻[編輯] 參考書目[編輯] 同濟大學數學系.高等数学6.高等教育出版社.ISBN 978-7-04-021277-8（中文（中國大陸））.  北京大學數學科學學院.数学分析2.北京大學出版社（中文（中國大陸））.  閱論編序列與級數算術序列發散級數1+1+1+1+… ·1+2+3+4+… ·無窮算術級數幾何序列收斂級數1/2−1/4+1/8−1/16+… ·1/2+1/4+1/8+1/16+… ·1/4+1/16+1/64+1/256+…發散幾何級數  1+1+1+1+… ·1+2+4+8+… ·1−2+4−8+… ·1−1+1−1+… ·2的冪 ·10的冪  超幾何級數廣義超幾何函數 ·矩陣參數的超幾何函數（英語：Hypergeometricfunctionofamatrixargument） ·超幾何級數 ·橢圓超幾何級數（英語：Elliptichypergeometricseries） ·黎曼微分方程（英語：Riemann'sdifferentialequation）整數序列整數數列列表 ·階乘 ·斐波那契數列 ·等諧數列 ·三角形數 ·立方數 ·平方數 ·多邊形數 ·五邊形數 ·六邊形數 ·七邊形數 ·八邊形數 ·盧卡斯數其他序列發散級數1−2+3−4+… ·1−1+2−6+24−120+⋯ 規範控制 AAT:300055669 BNE:XX526931 BNF:cb11933261z(data) FAST:1113168 GND:4049197-3 LCCN:sh85120237 NDL:00567344 NKC:ph128240 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=级数&oldid=68851106」 分類：​級數無窮高等數學隱藏分類：​自2018年5月缺少註腳的條目含有英語的條目自2010年9月有未列明來源語句的條目包含AAT標識符的維基百科條目包含BNE標識符的維基百科條目包含BNF標識符的維基百科條目包含FAST標識符的維基百科條目包含GND標識符的維基百科條目包含LCCN標識符的維基百科條目包含NDL標識符的維基百科條目包含NKC標識符的維基百科條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةAsturianuAzərbaycancaБашҡортсаБеларускаяБеларуская(тарашкевіца)БългарскиभोजपुरीবাংলাBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEuskaraفارسیSuomiFrançais贛語KriyòlgwiyannenGalego客家語/Hak-kâ-ngîעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarInterlinguaBahasaIndonesiaÍslenskaItaliano日本語Patoisქართულიಕನ್ನಡ한국어LatinaLëtzebuergeschLombardລາວLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംBahasaMelayuनेपालीNederlandsNorskbokmålPolskiPortuguêsRomânăРусскийSicilianuSrpskohrvatski/српскохрватскиසිංහලSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaKiswahiliதமிழ்ไทยTürkçeУкраїнськаاردوOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệt吴语Bân-lâm-gú粵語 編輯連結