微观经济学(4) 消费者理论: 效用最大化、需求 - 知乎专栏

一、效用最大化问题、需求存在性条件1.1 Def 预算约束、"偏好最大化"需求设X\subset \mathbb{R}^L_+ 上存在偏好\succsim. 消费者的收入限制为w, 面对的价格p\gg 0. 首发于模块1:高级宏微观经济学无障碍写文章登录/注册一、效用最大化问题、需求存在性条件1.1Def预算约束、"偏好最大化"需求设X\subset\mathbb{R}^L_+上存在偏好\succsim.消费者的收入限制为w,面对的价格p\gg0.(1)BudgetBundle(预算约束):B(p,w)=\{x\inX|p^\topx\leqslantw\}(2)x(p,w):=\{x^*\inB(p,w)|\forallx\inB(p,w),x^*\succsimx\},称为给定(p,w)的"偏好最大化"需求/马歇尔需求(MarshallianDemand),简称需求.注意,此时x(p,w):\mathbb{R}^n_{++}\times\mathbb{R}_{++}\to2^X为集值函数(Correspondence).1.2Def-Prop效用最大化问题(UMP)设\succsim在X上可被效用函数u表示,\maxu(x)\\s.t:x\inB(p,w)\\x\geqslant0称为UtilityMaximizationProblem.则arg\max_{x\inB(p,w)}u(x)=x(p,w),即"偏好最大化"等价转化为效用最大化.证:由效用u表示偏好\succsim的定义可知:x\inx(p,w),x\succsim\forallx'\inB(p,w)\Leftrightarrowu(x)\geqslant\forallu(x')\Leftrightarrowx\inarg\max_{B(p,w)}u(x)1.3Prop需求集值函数:零阶齐次x(p,w)为零次齐次函数:\forallp,w,\lambda>0,x(p,w)=x(\lambdap,\lambdaw)证:显然由于B(p,w)是零次齐次的，根本没有改变UMP.1.4Prop需求存在条件:连续偏好(WeierstrassTheorem)设\succsim在X上连续.则存在连续效用函数u表示\succsim.首先证明B(p,w)的紧性：(1)显然B(p,w)有界,因为p\gg0nogoodsisfree;(2)B(p,w)为闭集:任取\{x_n\}\subsetB(p,w)\tox.由于x_n^\topp\leqslantw利用欧氏空间点列极限保号性:x^\topp\leqslantw.WeierstrassTheorem:由于u在X上连续，给定(p,w),u在B(p,w)上连续.由于B(p,w)为紧集，则有最值定理知:存在\max_{x\inB(p,w)}u(x)，即最优值存在且为单点,最值集必然闭.则再由u的连续性，其逆像{x}(p,w):=\mathop{\arg\max}_{x\inB(p,w)}u(x)\subsetB(p,w)也为闭集.又由于紧集闭子集也紧，则利用B(p,w)的紧性可知x(p,w)也为紧集.关于连续函数与紧集的性质参考数学分析相关部分:全能菜王李金夕：4.4连续函数的性质：紧、一致连续、连通、逆更强的性质可由Berge's\Maximum\Theorem给出:二、效用最大化问题求解：必要条件、预算等式(NLS)、边际替代率(NLS、InnerSolution)2.1ThmUMP一般解必要条件：KKT条件此处，我们对UMP做出进一步限制:要求u(x)为连续可微.列出拉格朗日:L(x)=u(x)+\lambda(w-p^\topx)+\mu^\topx.若x^*\inx(p,w)则必满足KKT一阶条件,即:(1)\frac{\partialu(x^*)}{\partialx_i}-\lambda^*p_i+\mu_i^*=0,\foralli;(FOC)(2)\lambda^*(w-p^\topx^*)=0,\mu_i^*x_i^*=0,\foralli.(ComplementarySlackness)(3)x_i^*\geqslant0,(x^*)^\topp\leqslantw;\lambda\geqslant0,\mu_i\geqslant0(OriginalConditionsandNonnegativeLagrangians)详见:2.2Prop"局部非餍足"的"连续"偏好:需求必在预算线上(Walras'Law)设\succsim为连续、局部非餍足.则\forallx'\inx(p,w),x'^\topp=w.证:(反证法)若\existsy\inx(p,w),s.t.y^\topp0.考察平面w=x^\topp到点y的距离为\frac{(x-y)^\topp}{|p|}=\frac{w-y^\topp}{|p|}=\frac{d}{|p|}.则记\epsilon:=\frac{d}{2|p|^2},y+\epsilonp到平面的距离为\frac{w-(y+\epsilonp)^\topp}{|p|}=\frac{d}{2|p|}>0.则B_\epsilon(y)\subsetB(p,w).显然由于局部非餍足\existsy'\inB_{\epsilon}(y),s.t.y'\succy矛盾！2.3Def-CorollaryUMP:"局部非餍足"偏好的"内点解"的必要条件当x^*\inx(p,w)\gg0,则称其为内点解(InteriorSolution相对于角解cornersolution).此时由松弛互补性，\mu_i^*=0,\foralli.再由局部非餍足偏好:w=p^\topx^*,再由松弛互补性，\lambda^*>0.综上所述:对于局部非餍足偏好的UMP内点解，即当x^*\gg0时,必有:(1)\nablau(x^*)=\lambda^*p(因为此时由内点解\mu_i^*=0)(2)w=p^\topx^*且\lambda^*>0.3.3Prop-Def内点解:边际替代率商品j对商品i的边际替代率(MarginalRateofSubstitutionofGoodjforGoodi):\frac{u'_{x_j}(x^*)}{u'_{x_i}(x^*)}.则由3.3(1)所述,向量\nablau(x^*)与p平行，即\foralli,\frac{u'_{x_j}(x^*)}{u'_{x_i}(x^*)}=\frac{p_j}{p_i}而\frac{p_j}{p_i}正是以商品j为计价单位计价的商品i的相对价格.注意此结论仅限内点解.三、效用最大化问题求解：充分条件3.1Prop凸、严格凸的连续偏好(严格、拟凹效用函数):需求为凸集、需求为单点设\succsim为连续、凸偏好,则x(p,w)为凸集.设\succsim为连续、严格凸偏好,则x(p,w)从集值函数退化成函数(单点).证:由上一节知:连续偏好一定有连续效用函数表示；有效用函数表示的(严格)凸偏好其效用函数一定为(严格)拟凹函数.而拟凹函数的最值集一定为凸集，详细证明见此文章:3.2ThmUMP"局部非餍足""内点解"的充分条件：拟凹效用函数设u为连续函数.设(p,w)\gg0.若u在点x^*处可微且x^*满足3.4中的KKT条件，即:(1)x^*\gg0(2)\nablau(x^*)=\lambda^*p(3)w=p^\topx^*且\lambda^*>0.若u还为拟凹函数(Quasiconcave),则x^*为p,w参数下UMP的全局解.证:(反证法)设\existsy\inB(p,w),s.t.u(y)>u(x^*).则取t\in[0,1),s.t.u(ty)>u(x^*).显然此时ty\inB(p,w).可行性是由u的连续性保证:考虑t的单变量函数u(ty).由于u(x)为连续函数,x=ty也为连续函数，则其复合函数u(ty)也为连续函数.则由函数极限保号性:\lim_{t\to1-}u(ty)=u(y)>u(x^*)\Rightarrow\forall\epsilon>0,\existst\in(1-\epsilon,1),s.t.u(ty)>u(x^*)则此时有ty^\toppu(x^*).有x^*点的可微性，计算\nablau(x^*)(ty-x^*)=(\lambda^*p)^\top(ty-x^*)=\lambda^*(tp^\topy-w)w'\landp''x>w''\Rightarrowtp'x+(1-t)p''x>tw'+(1-t)w''=w'''矛盾！则WLOG设\forallx\inB(p''',w'''),p'x