逐點收斂- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

逐點收歛也稱點態收斂，（英語：pointwise convergence，或稱簡單收斂），是數學中描述一組函數序列向一個函數趨近的一種方式（函數趨近極限有其他不同方式，個中差異 ... 逐點收斂 語言 監視 編輯 逐點收歛也稱點態收斂，（英語：pointwiseconvergence，或稱簡單收斂），是數學中描述一組函數序列向一個函數趨近的一種方式（函數趨近極限有其他不同方式，個中差異請小心分辨）。

詳細點講，如果這組函數列在定義域中每點的取值都會趨於一個極限值，這時可以用每點的極限來定義這組函數序列的極限函數，被趨近的這個極限函數稱作這個函數敘列的逐點極限。

在各種收斂中，逐點收斂較容易了解跟想象，但未必能很好地保持函數的一些重要性質，比如說連續性等等。

序 目次 1定義 2性質 3拓撲性質 4測度論 5參見 定義編輯 設 { f n } {\displaystyle\{f_{n}\}}  是一組有相同定義域的函數序列。

序列 { f n } {\displaystyle\{f_{n}\}}  逐點收斂當且僅當存在函數 f {\displaystylef}  ，使得在定義域中的每點 x {\displaystylex}  ，都有： lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=f(x)}  這時我們就說序列 { f n } {\displaystyle\{f_{n}\}}  逐點收斂到 f {\displaystylef}  ，或說函數 f {\displaystylef}  是序列 f n {\displaystylef_{n}}  的逐點極限函數。

在英文中也寫作： lim n → ∞ f n = f    pointwise , {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}=f\{\mbox{pointwise}},}   性質編輯 與逐點收斂經常一起出現的一個概念是一致收斂（英語：uniformconvergence）。

一致收歛的定義如下： 假設序列 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})}  中的函數跟函數 f {\displaystylef}  都有相同的定義域 I {\displaystyleI}  。

定義函數序列 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})}  一致收斂到 f {\displaystylef}  ，若數列 a n = sup { | f n ( x ) − f ( x ) | : x ∈ I } {\displaystylea_{n}=\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\inI\,\}}   趨近於零，用符號表示就是： lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0}  ，換句話講也就是： lim n → ∞ sup { | f n ( x ) − f ( x ) | : x ∈ I } = 0 {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\inI\;\}=0}  兩相比較，一致收斂對於函數趨近的方式限制更大，所以一致收斂的函數序列必然逐點收斂，反之則不然。

一個簡單的例子是函數序列 f n : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] {\displaystylef_{n}:[0,1]\rightarrow[0,1]}  ，讓 f n ( x ) = x n {\displaystylef_{n}(x)=x^{n}}  ，則 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})}  逐點收斂到（不連續）函數 f ( x ) = { 0 x ∈ [ 0 , 1 ) 1 x = 1 {\displaystylef(x)={\begin{cases}0&x\in[0,1)\\1&x=1\end{cases}}}  ,但並不一致收斂到該函數，因為對每個 n {\displaystylen}  ， sup { | f n ( x ) − f ( x ) | : x ∈ [ 0 , 1 ] } {\displaystyle\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in[0,1]\,\}}  皆為1，所以 lim n → ∞ sup { | f n ( x ) − f ( x ) | : x ∈ [ 0 , 1 ] } = 1 ≠ 0 {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in[0,1]\,\}=1\neq0}  。

這說明了序列 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})}  並不一致收歛。

一致收斂能夠保持函數序列的連續性，但逐點收斂不能。

如上例，序列 ( f n ( x ) = x n ) {\displaystyle(f_{n}(x)=x^{n})}  都在閉區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle[0,1]}  上連續，但是 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})}  逐點收斂到的函數 f {\displaystylef}  並不是連續函數。

逐點收歛不要求序列 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})}  中函數的取值一定是實數，也可以是任何使其定義有意義的拓撲空間。

但一致收斂函數的適用範圍則相對較小，比如如果函數序列 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})}  的對應域僅是拓樸空間，那可能一致收歛的定義並無意義，所以一致收歛的對應域一般在度量空間。

因為一致收歛定義中表達趨近的部分我們（部分的）利用了距離的概念（絕對值就是距離的概念），在這定義中無法被其他概念取代，相對來說逐點收歛中表達趨近的部分雖然也用了距離概念，但可以用拓樸空間中的開集合來取代，。

拓撲性質編輯 逐點收斂也可以理解為由半範數 | | f | | x = | f ( x ) | {\displaystyle||f||_{x}=|f(x)|\,}  建立的拓撲。

具有這種拓撲的函數組成的空間叫做逐點收斂空間。

這個拓撲與乘積拓撲是等價的。

如果 f {\displaystylef}  的定義域和值域都是緊緻的，根據吉洪諾夫定理，這個空間也是緊緻的。

測度論編輯 在測度理論中，對一個可測空間上的可測函數有幾乎處處收斂的概念，也就是說幾乎處處逐點收斂。

葉戈羅夫定理說明，在有限測度的集合上幾乎處處逐點收斂，意味着在稍微較小的集合上一致收斂。

參見編輯 一致收斂 拓撲空間 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=逐點收斂&oldid=64569579」