107年大學學測數學科詳解 - 朱式幸福

107年大學學測數學科詳解. 107學年度學科能力測驗試題. 數學考科. 第壹部分：選擇題（占6 0 分） 一、單選題 1. 給定相異兩點A、B ，試問空間中能 ... 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2018年2月3日星期六 107年大學學測數學科詳解 107學年度學科能力測驗試題 數學考科 第壹部分：選擇題（占60分） 一、單選題 1.給定相異兩點A、B，試問空間中能使\(\trianglePAB\)成一正三角形的所有點P所成集合 為下列哪一選項？ (1)兩個點(2)一線段(3)一直線(4)一圓(5)一平面 解 在\(\overline{AB}\)的中垂線上，可以找到兩點C與D，使得\(\triangleCAB及\triangleDAB\)皆為正三角形。

由於此題關注於三維空間上，因此以\(\overline{AB}\)為旋轉軸，兩點C與D繞著\(\overline{AB}\)旋轉可得一圓，圓上所有的點與A、B兩點皆形成正三角形。

故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\) 2.一份試卷共有10題單選題，每題有5個選項，其中只有一個選項是正確答案。

假設小明以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。

試估計小明全部答對的機率最接近下列哪一選項？ (1)\(10^{-5}\) (2)\(10^{-6}\)(3)\(10^{-7}\) (4)\(10^{-8}\) (5)\(10^{-9}\) 解 每一題猜對的機率都是\(\frac{1}{5}\)，10題全對的機率為\(\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}\times\cdots\times\frac{1}{5}=\left(\frac{1}{5}\right)^{10}=\left(2\times10^{-1}\right)^{10}=2^{10}\times10^{-10}=1024\times10^{-10}=1.024\times10^{-7}\) 故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\) 3.某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假。

若甲、乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關，試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何？ (1)1/3  (2)8/21  (3)3/7  (4)10/21 (5)11/21 解 甲在七天中任選兩天，有\(C^7_2=21\)種選法 乙在甲挑剩下的五天中任選兩天休假，有\(C^5_2=10\)種選法 也就是說有10種選法，讓兩人完全不會同一天休假，因此會發生同一天休假的可能有21-10=11種情形，其機率為11/21。

故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\) 4.試問有多少個整數x滿足\(10^9<2^x<9^{10}\)？ (1)1個(2)2個(3)3個(4)4個(5)0個 解 $$10^{9}<2^{x}<9^{10}\Rightarrow9\sin{C}\) (5)\(\cos{A}>\cos{B}\) 解 假設A為原點，則\(A=(0,0),B=(-4,3),C=\left(\frac{2}{5},\frac{4}{5}\right)\) (1)\(\overline{BC}=\sqrt{{(\frac{2}{5}+4)}^2+{(\frac{4}{5}-3)}^2}=\sqrt{\frac{605}{25}}=\frac{11\sqrt{5}}{5}\) (2)\(\overline{AB}=\sqrt{4^2+5^2}=5,\overline{AC}=\sqrt{(\frac{2}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow(\frac{11\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{2\sqrt{5}}{5})^2=\frac{605+20}{25}=25=5^2\) \(\Rightarrow{\overline{AB}}^2={\overline{BC}}^2+{\overline{AC}}^2\Rightarrow\triangleABC\)是直角三角，且\(\angleC=90^\circ\) (3)\(\triangleABC\)的面積為\(\overline{AC}\times\overline{BC}\div2=\frac{2\sqrt{5}}{5}\times\frac{11\sqrt{5}}{5}\div2=\frac{11}{5}\) (4)\(\angleC=90^\circ\Rightarrow\sin{C}>\sin{B}\) (5)\(\overline{BC}>\overline{AC}\Rightarrow\cos{B}>\cos{A}\) 故選\(\bbox[red,2pt]{(2,3)}\) 11.坐標空間中，設直線\(L:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z}{-1}\)，平面\(E_1:2x-3y-z=0\)，平面\(E_2:x+y-z=0\)。

試選出正確的選項。

(1)點(3,0,-1)在直線L上 (2)點(1,2,3)在平面\(E_1\)上 (3)直線L與平面\(E_1\)垂直 (4)直線L在平面\(E_2\)上 (5)平面\(E_1\)與\(E_2\)交於一直線 解  (1)\(\frac{3-1}{2}=1\ne\frac{0-2}{-3}=\frac{2}{3}\Rightarrow\)(3,0,-1)不在\(L\)上 (2)\(2\times1-3\times2-3=2-6-3=-7\ne0\Rightarrow\)(1,2,3)不在\(E_1\)上 (3)直線\(L\)的方向向量為(2,-3,-1)與平面\(E_1\)的法向量相同，所以兩者垂直 (4)令直線\(L\)上的點(2t+1,-3t+2,-t)代入平面\(E_2\)可得2t+1-3t+2+t=3\(\ne\)0，所以直線L不在平面\(E_2\)上 (5)只要兩平面不重疊且不平行就會交於一直線，兩平面的法向量不相等，故交於一直線 故選\(\bbox[red,2pt]{(3,5)}\) 12.試問下列哪些選項中的二次曲線，其焦點（之一）是拋物線\(y^2=2x\)的焦點？ (1)\(y=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\) (2)\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1\) (3)\(x^2+\frac{4y^2}{3}=1\) (4)\(8x^2-8y^2=1\) (5)\(4x^2-4y^2=1\) 解 拋物線\(y^2=2x=4\times\frac{1}{2}x\Rightarrow\)焦點=(\(\frac{1}{2}\),0) (1)\(y=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\Rightarrow(x-\frac{1}{2})^2=4\times\frac{1}{4}(y+\frac{1}{4})\Rightarrow \)焦點=(\(\frac{1}{2},-\frac{1}{4}+\frac{1}{4})=(\frac{1}{2},0)\) (2)\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1\Rightarrow\frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{{\sqrt{3}}^2}=1\Rightarrowa=2,b=\sqrt{3}\Rightarrowc=1\Rightarrow\)焦點=(\(\pm1\),0) (3)\(x^2+\frac{4y^2}{3}=1\Rightarrowa^2=1,b^2=\frac{3}{4}\Rightarrowc=\frac{1}{2}\Rightarrow\)焦點=(\(\pm\frac{1}{2}\),0) (4)\(8x^2-8y^2=1\Rightarrow\frac{x^2}{\frac{1}{8}}-\frac{y^2}{\frac{1}{8}}=1\Rightarrowa^2=b^2=\frac{1}{8}\Rightarrowc=\frac{1}{2}\Rightarrow\)焦點=(\(\pm\frac{1}{2}\),0) (5)\(4x^2-4y^2=1\Rightarrow\frac{x^2}{\frac{1}{4}}-\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\Rightarrowa^2=b^2=\frac{1}{4}\Rightarrowc=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow\)焦點=(\(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\),0) 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3,4)}\) 第貳部分：選填題 A.已知坐標平面上三點\((3,\log{3}),(6,\log{6}),(12,y)\)在同一直線上，則\(y=\log{ \boxed{13}\fbox{14}}\)。

解 三點在同一直線上，表示任兩點斜率相等，即$$\frac{6-3}{\log{6}-\log{3} }=\frac{12-6}{y-\log{6} }\Rightarrow\frac{3}{\log{6}-\log{3} }=\frac{6}{y-\log{6} }\\\Rightarrow2\left(\log{6}-\log{3} \right)=y-\log{6}=3\log{6}-2\log{3}\\=3\left(\log{3}+\log{2} \right)-2\log{3}=\log{3}+3\log{2}=\log{3\times{2}^{3}}=\log{24}$$ 故\(\boxed{13}=\bbox[red,2pt]{2}\)且\(\boxed{14}=\bbox[red,2pt]{4}\) B.如右圖所示（只是示意圖），將梯子\(\overline{AB}\)靠在與地面垂直的牆AC上，測得與水平地面的夾角\(\angleABC為60^\circ\)。

將在地面上的底B沿著地面向外拉51公分到點F（即\(\overline{FB}=51\)公分），此時梯子\(\overline{EF}\)與地面的夾角\(\angleEFC\)之正弦值為\(\sin{\angleEFC}=0.6\)，則梯子長\(\overline{AB}\)=\(\boxed{15}\boxed{16}\boxed{17}\)公分。

解 令梯子長\(\overline{AB}=\overline{EF}=a\)，由於\(\angleABC=60^\circ\Rightarrow\overline{BC}=\frac{a}{2}\)； \(\sin{\angleEFC}=0.6=\frac{3}{5}\Rightarrow\cos{\angleEFC}=\frac{4}{5}=\frac{\overline{FC}}{\overline{EF}}=\frac{51+a/2}{a}\Rightarrowa=255\times\frac{2}{3}=170\) 故\(\boxed{15}=\bbox[red,2pt]{1},\boxed{16}=\bbox[red,2pt]{7},\boxed{17}=\bbox[red,2pt]{0}\) C.平面上兩點A、B之距離為5，以A為圓心作一半徑為r（0