单调收敛定理_百度百科

收敛于X的数学期望EX，这种现象称为单调收敛定理。

中文名: 单调收敛定理; 外文名: Monotone convergence theorem; 类 别: 数学. 百度首页 网页 新闻 贴吧 知道 网盘 图片 视频 地图 文库 百科 首页 历史上的今天 百科冷知识 图解百科 秒懂百科 懂啦 秒懂本尊答 秒懂大师说 秒懂看瓦特 秒懂五千年 秒懂全视界 特色百科 数字博物馆 非遗百科 恐龙百科 多肉百科 艺术百科 科学百科 用户 蝌蚪团 热词团 百科校园 分类达人 百科任务 百科商城 知识专题 权威合作 合作模式 常见问题 联系方式 下载百科APP 个人中心 收藏 查看我的收藏 0 有用+1 已投票 0 单调收敛定理 播报 编辑 锁定 讨论 上传视频 特型编辑 数学术语 本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。

设0≤X1≤X2≤…≤Xn≤…是一单调非负随机变量列。

那么，若Xn(处处)收敛于随机变量X，则相应的数学期望列EX1，EX2，…，EXn，…收敛于X的数学期望EX，这种现象称为单调收敛定理。

中文名 单调收敛定理 外文名 Monotoneconvergencetheorem 类    别 数学 推    广 勒贝格单调收敛定理 收    敛 有限有界的 应    用 高等函数求极限 目录 1 单调实数序列的收敛性 ▪ 定理 ▪ 证明 2 单调级数的收敛性定理 3 勒贝格单调收敛定理 ▪ 定理 ▪ 证明 单调收敛定理单调实数序列的收敛性 编辑 播报 单调收敛定理定理 如果ak是一个单调的实数序列（例如ak≤ak+1），则这个序列具有极限（如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话）。

这个极限是有限的，当且仅当序列是有界的。

单调收敛定理证明 我们证明如果递增序列{an}有上界，则它是收敛的，且它的极限为 。

由于{an}非空且有上界，因此根据实数的最小上界公理，c= 存在，且是有限的。

对于每一个 ，都存在一个aN，使得aN>c- ，否则c- 是{an}的一个上界，这与c为最小上界 的事实矛盾。

于是，由于{an}是递增的，对于所有的n>N，都有 ，因此根据定义，{an}的极限为 。

证毕。

类似地，如果一个实数序列是递减且有下界，则它的最大下界就是它的极限。

[1]  单调收敛定理单调级数的收敛性定理 编辑 播报 如果对于所有的自然数j和k，aj,k都是非负实数，且aj,k≤aj+1,k，则 单调收敛定理勒贝格单调收敛定理 编辑 播报 这个定理是前一个定理的推广，也许就是最重要的单调收敛定理。

单调收敛定理定理 设(X,，A， )为一个测度空间。

设f1，f2......为 -可测的[0, ]值单调递增函数。

也就是说： 。

接着，设序列的逐点极限为f。

也就是说： ，那么，f是 -可测的，且： 。

单调收敛定理证明 我们首先证明f是 -可测函数。

为此，只需证明区间[0,t]在f下的原像是X上的σ代数A的一个元素。

设I为[0， )的一个子区间。

那么： ，另一方面，由于[0,t]是闭区间，因此： 等价于 ，所以： 。

注意可数交集中的每一个集合都是A的一个元素，这是因为它是一个波莱尔子集在 -可测函数 下的原像。

由于根据定义，σ代数在可数交集下封闭，因此这便证明了f是 -可测的。

需要注意的是，一般来说，任何可测函数的最小上界也是可测的。

我们证明单调收敛定理的余下的部分。

f是 -可测的事实，意味着表达式 是定义良好的。

我们从证明 开始。

根据勒贝格积分的定义，其中SF是X上的-可测简单函数的交集。

由于在每一个，都有，我们便有： 包含于 ，因此，由于一个子集的最小上界不能大于整个集合的最小上界，我们便有： ，右面的极限存在，因为序列是单调的。

我们证明另一个方向的不等式（也可从法图引理推出），也就是说，我们来证明： 从积分的定义可以推出，存在一个非负简单函数的非递增序列gn，它几乎处处逐点收敛于f，且： 只需证明对于每一个 ，都有： ，这是因为如果这对每一个k都成立，那么等式左端的极限也将小于或等于等式右端。

我们证明如果gk是简单函数，且 几乎处处，则： 由于积分是线性的，我们可以把函数 分拆成它的常数部分，化为 是σ代数A的一个元素B的指示函数的情况。

在这种情况下，我们假设 是一个可测函数的序列，它在B的每一个点的最小上界都大于或等于一。

为了证明这个结果，固定 ，并定义可测集合的序列： 根据积分的单调性，可以推出对于任何的 ，都有 根据 的假设，对于足够大的n，任何B内的x都将位于 内，因此： ，所以，我们有： 利用测度的单调性，可得 ，取 ，并利用这对任何正数都正确的事实，定理便得证。

百度百科内容由网友共同编辑，如您发现自己的词条内容不准确或不完善，欢迎使用本人词条编辑服务（免费）参与修正。

立即前往>> 参考资料 1.    马冬梅,陈雪梅.Stieltjes积分的单调收敛定理[J].四川大学学报(自然科学版),2014,51(06):1136-1138.[2017-09-15]. 图集 单调收敛定理的概述图（1张） V百科往期回顾 权威合作编辑 “科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 “科普中国”是为我国科普信息化建设塑造的全... 什么是权威编辑 词条统计 浏览次数：次 编辑次数：11次历史版本 最近更新： 本命年本命年44 （2022-03-26） 1 单调实数序列的收敛性 定理 证明 2 单调级数的收敛性定理 3 勒贝格单调收敛定理 定理 证明 为您推荐广告 搜索发现 新手上路 成长任务 编辑入门 编辑规则 本人编辑 我有疑问 内容质疑 在线客服 官方贴吧 意见反馈 投诉建议 举报不良信息 未通过词条申诉 投诉侵权信息 封禁查询与解封 ©2022 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号  京公网安备11000002000001号 进入词条 清除历史记录关闭 播报 编辑 讨论  收藏 赞 登录 扫码下载百科APP 领取50财富值奖励 分享到微信朋友圈 打开微信“扫一扫”即可将网页分享至朋友圈 选择朗读音色 00:00 00:00