解函式的單調區間的方法和步驟 - 優幫助

解函式的單調區間的方法和步驟，求函式單調性的基本方法,1樓匿名使用者單調性的定義 ... 轉化為比較一個實數與零的大小，這隻須判斷該實數的符號即可，是問題的簡化；. 解函式的單調區間的方法和步驟，求函式單調性的基本方法 2021-08-2722:53:12字數5696閱讀4056 1樓：匿名使用者 單調性的定義及其三種表述方法: 設有函式y=f(x),(x∈m) （1）、首先根據函式圖象的特點得出定義的圖象語言表述 如果在定義域的某個區間裡，函式的影象從左到右上升，則函式是增函式； 如果在定義域的某個區間裡，函式的影象從左到右下降，則函式是減函式。

（2）、其次給出函式的相應的性質定義的文字語言表述 如果在某個區間裡y隨著x的增大而增大，則稱y是該區間上的增函式，該區間稱為該函式的遞增區間； 如果在某個區間裡y隨著x的增大而減小，則稱y是該區間上的減函式，該區間稱為該函式的遞減區間。

遞增區間和遞減區間統稱為函式的單調區間，在定義域上的增函式和減函式稱為單調函式。

（3）、最後翻譯為數學符號語言，得到定義的數學語言表述： 如果對於任意的x1、x2∈[a、b]包含於m， 若當x1y2，即f(x1)>f(x2)，則稱f(x)在［a、b］上遞減，稱y是該區間上的減函式，［a、b］稱為y=f(x)的單調減區間； 2、定義的剖析： （1）單調性是函式隨自變數的變化而變化的區域性特性，是函式的一個的區域性性質，在定義域的不同的區域性，函式的單調性可能不同，也可能相同。

因此在說到函式的單調性時，一定要指明所在區間。

例： y0x （2）在每個區域性的單調性不同時，整體上必定沒有單調性。

例：二次函式 （3）每個區域性的單調性都相同時，整體上可能有相同的單調性。

例：一次函式 （4）每個區域性的單調性都相同時，整體上也可能沒有單調性。

例：反比例函式 （5）整體上有單調性時，則任意區域性都有相同的單調性。

例：一次函式 （6）整體上沒有單調性時，可能在任意的區域性都沒有單調性。

例：迪裡赫來函式 （7）必須注意x1、x2的任意性，只要有一個反例，即可證明該區間不是函式的單調區間。

例：有間斷點的分段函式 3、(新課標蘇教本必修一課本p34)例題講解 學法指導——典型問題及解法 1、證明或判定函式在給定區間上的單調性的方法與步驟 （1）定義法：［取值、作差（或作商）、變形（化積或配方）、判斷］ 作差是把比較兩個實數（或代數式）的大小轉化為比較一個實數與零的大小，這隻須判斷該實數的符號即可，是問題的簡化； 變形是為了把比較複雜的式子化成易判斷符號的形式： ①把差式化為若干個因式的乘積，其中每個因式的符號可以判定； ②不能因式分解時可配方化為若干個完全平方的和， 例：,(作差後變形時先因式分解再配方). （2）影象法：用描點法作出函式的圖象，並根據圖象的特點判定單調性。

例：,(注意使用描點法作函式圖象的步驟) 2、求函式的單調區間的方法與步驟 （1）求出函式的定義域 （2）將定義域劃分為若干個區間 （3）判定在各個區間上的單調性 （4）確定函式的單調區間 解此類問題的關鍵是要找到定義域的分段點 例：3、比較兩個數的大小的步驟： ①觀察欲比大小的兩個數的結構，把二者不同的部分換成自變數x，相同的部分保持不變，確定擬利用的函式y=f(x)及其定義域。

②把已知的兩個數不同的部分作為該函式的自變數x的兩個值，兩個數作為相應的兩個函式值，並確定自變數所在區間； ③確定該函式在該區間上的單調性； ④根據自變數的大小確定函式值的大小，即已知的兩個數的大小。

例1：(新課標蘇教本必修一p50例1,p67例2) 例2：比較的大小. 解：根據題設的兩個對數，選擇，u∈（0，+∞） 由解得x＞–1. 因函式在（0，+∞）上單調遞增， 當x＞–1時，有. 故有。

注意：①解題過程中應注意充分利用影象。

②有時兩數結構不相同,需要選擇適當的中介數完成任務。

例：(新課標蘇教本必修一p70no7) ③有時需要利用函式的奇偶性或週期性轉換區間。

例：比較的大小. 答疑解惑 1、定義中對於區間的表示方法問題為何可用一個大寫字母表示？為何不寫端點？ 因為區間有各種情況（開、閉、半開半閉、無窮等），有各種不同的表示形式，但都是一個數集，故統一用一個大寫字母表示。

2、單調性改變點的歸屬區間問題 從定義域劃分為區間應遵從不重不漏的原則上來講，兩個相鄰區間的公共端點應只屬於前後其中一個區間。

但在求求一個函式的某個單調區間時，端點能包含進去的應寫成閉區間，即一個點可以同時屬於兩個相鄰的單調區間，但加端點後不單調的情形，就不能加，　一般如果區間的左（右）端點上不是右（左）連續的話，單調區間有可能不能包括端點。

2、單調區間的並集就是定義域的說法正確嗎？ 單調區間合起來是定義域,這個結論不完全正確,對於連續函式來說是正確的，但對於一些特殊的函式就不一定對了， 例如：分段函式y=1/x(x<>0)或=0(x=0) 3、根據函式的圖象求函式的單調區間要注意什麼？ 圖象一定要準確、完整，對於觀察得出的結論要嚴格證明，根據圖象先猜後證。

4、如何證明函式在某區間上不是單調函式？ 只須舉出一個反例即可， 例：y=sinx在不是增函式． 5*、離散函式都不具有單調性”這句話是否正確？ 如果把定義域理解為可以是隻包含離散點的情況，這句話是不正確的，如數列的通項公式即為離散函式的表示式，則離散函式可以具有單調性．我們不是總說遞增數列或遞減數列嗎？ 如果把定義域理解為不包含只含有離散點的情況，因為離散函式的定義域也是離散的，不具有連續性，故不存在單調區間，也就不具有單調性。

應用例析 1、求函式的值域或最值 閉區間上的單調函式的值域即為兩端點函式值所確定的區間。

兩端點函式值即為函式的最值。

例：(略) 2、證明與自然數有關的命題 例：已知x＞-1，且x≠0，，求證： 證明：（分析：）欲證，只需證， （建構函式：）可令 （判定該函式的單調性：） 是單調遞減函式，又 ，即（1+. 3、解方程 例：解方程. 分析：令。

顯然，在公共定義域裡，f（x）是增函式， g（x）為減函式.直接驗證知f（1）=g（1）.以此為基礎，用函式f（x）、g（x）的單調性即可求出原方程的解. 解：設. 在它們共同的定義域裡，f（x）為單調遞增函式，g（x）為單調遞減函式. 顯然f（1）=g（1）且 時，有f（x）＞f（1）=g（1）＞g（x）; –2＜x＜1時，有f（x）＜f（1）=g（1）＜g（x） 即原方程f（x）=g（x）僅有一解x=1 故x=1是原方程的解. 4、證明不等式 例：已知a、b、c，求證： 簡析：觀察題中的的外表特徵，自然會考慮建構函式 f（x）=.顯然，此函式在0≤x＜+∞上是增函式.由得出後，原題的證明即能實現. 證明：建構函式，由此可知f（x）在上是單調遞增函式. 5、求引數的取值範圍 例：已知f（x）是奇函式，在實數集r上又是單調遞減函式，且0＜θ＜時, ,求t的取值範圍. 簡析:因已知函式f（x）是奇函式,將已知不等式移項後可得.然後,根據f（x）是減函式又可得. 最後，根據它的外形特徵可建構函式.易證，它在（0，1）上是減函式.利用此函式的單調性，t的取值範圍即可求得. 解：由題設知. ∵f（x）是奇函式，故有 ∴∵f（x）在r上是減函式，故有，整理得. 建構函式，它在（0，1）上是減函式，值域為 綜上所述，用函式單調性解題的關鍵是，通過觀察、分析、聯想，構造一個適當的函式，若構造的這個函式的單調性不明顯，則需證明它具有單調性（如例2），然後根據函式的單調性去求解或證明. **課題 1、判斷函式單調性的等價定義法（判斷的符號 2、複合函式的單調性判定法則：同增異減。

3、由已知單調性的函式的和、差、積、商構成的函式的的單調性。

知識拓展 1、嚴格單調與非嚴格單調，常值函式。

2、如何利用有關定理判定函式的單調性 ①互為反函式的兩個函式具有相同的單調性。

②奇函式在對稱區間上具有相同的單調性 ③偶函式在對稱區間上具有相反的單調性。

3、用導數研究函式的單調性 2樓：匿名使用者 和y=x5兩個函式的複合,然後分別確定兩個函式的單調區間，當然前邊那個只是一般地，判斷(而不是證明)函式的單調性，有下面幾種方法。

1。

基本函式法 求函式單調性的基本方法? 3樓：nice千年殺 一般是用導數法。

對f（x）求導，f’（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1） 令f’（x）>0，可得到單調遞增區間（-∞，-1）∪（1，+∞），同理單調遞減區間[-1,1] 複合函式還可以用規律法，對於f（g（x）），如果f（x），g（x）都單調遞增（減），則複合函式單調遞增；否則，單調遞減。

口訣：同增異減。

還可以使用定義法，就是求差值的方法。

拓展資料 導數：導數是變化率、是切線的斜率、是速度、是加速度；導數是用來找到“線性近似”的數學工具；導數是線性變換，這是導數的三重認識，定義是函式值的變化量比上自變數的變化量。

4樓：安貞星 1、導數法 首先對函式進行求導，令導函式等於零，得x值，判斷x與導函式的關係，當導函式大於零時是增函式，小於零是減函式。

2、定義法 設x1，x2是函式f(x)定義域上任意的兩個數，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，則此函式為增函式；反知，若f(x1)＞f(x2)，則此函式為減函式. 3、性質法 若函式f(x)、g(x)在區間b上具有單調性，則在區間b上有： ①f(x)與f(x)＋c（c為常數）具有相同的單調性； ②f(x)與c•f(x)當c＞0具有相同的單調性，當c＜0具有相反的單調性； ③當f(x)、g(x)都是增(減)函式，則f(x)＋g(x)都是增(減)函式； ④當f(x)、g(x)都是增(減)函式，則f(x)•g(x)當兩者都恆大於0時也是增(減)函式，當兩者都恆小於0時也是減(增)函式； 4、複合函式同增異減法 對於複合函式y＝f[g(x)]滿足“同增異減”法(應注意內層函式的值域)，令t＝g(x)，則三個函式y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f[g(x)]中，若有兩個函式單調性相同，則第三個函式為增函式；若有兩個函式單調性相反，則第三個函式為減函式。

拓展資料： 函式的定義： 給定一個數集a，假設其中的元素為x。

現對a中的元素x施加對應法則f，記作f（x），得到另一數集b。

假設b中的元素為y。

則y與x之間的等量關係可以用y=f（x）表示。

我們把這個關係式就叫函式關係式，簡稱函式。

函式單調性的定義： 一般的，設函式y=f(x)的定義域為a,i↔a，如對於區間內任意兩個值x1、x2， 1）、當x12）、當x1>x2時，都有f(x1)>f(x2),那麼就說y=f(x)在區間i上是單調減函式，i稱為函式的單調減區間。

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