連續方程式 - 科學Online

連續方程式(Continuity Equation) 國立臺灣大學大氣科學系陳品全. 在形容管中一個不可壓縮的流體之運動時，我們常常會使用到一個公式：. Thursday11thNovember2021 11-Nov-2021 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 連續方程式(ContinuityEquation) 國立臺灣大學大氣科學系陳品全 在形容管中一個不可壓縮的流體之運動時，我們常常會使用到一個公式： $$A_1v_1=A_2v_2$$ 圖一、連續方程式示意圖（本文作者陳品全繪製） 此公式為連續方程式的一個特例，代表流體的質量守恆律。

要看出這一點，我們在這個流管取一個假想的控制體積(ControlVolume)，其中$$A_1$$ 和$$A_2$$ 分別是左邊和右邊流管截面積，而$$v_1$$ 和$$v_2$$ 則是流體的流進和流出速率。

在單位時間內，流進的體積$$A_1v_1\Deltat$$會等於流出的體積$$A_2v_2\Deltat$$，如此一來此控制體積內的流體量才會維持為定值（穩定流，Steadyflow）。

對於更一般的情況，我們也可以有更一般性(general)的連續方程式來形容流體。

我們可以想像在一個三維的流體中取一個小體積$$\deltaV$$作為控制體積，而這個體積內含有的流體質量則是$$\deltaM=\rho\deltaV$$。

因為控制體積內的質量$$\deltaM$$要守恆，所以$$\frac{d(\deltaM)}{dt}=0$$。

利用這個等式，我們可以導出： $$\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{1}{\deltaM}\frac{d(\deltaM)}{dt}&\displaystyle=\frac{\left[\frac{\rhod(\deltaV)}{dt}+\frac{d\rho}{dt}\deltaV\right]}{\rho\deltaV}\\&\displaystyle=\frac{1}{\deltaV}\frac{d(\deltaV)}{dt}+\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dt}=0\end{array}$$ 對於$$\displaystyle\frac{1}{\deltaV}\frac{d(\deltaV)}{dt}$$，我們可以將控制體積假想是一個很小的長方體，邊長分別為$$\deltax,\deltay,\deltaz$$（也就是分別為$$x$$、$$y$$、$$z$$方向的微小變化）。

圖二、極小的長方體(本文作者陳品全繪製) $$\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{1}{\deltaV}\frac{d(\deltaV)}{dt}&\displaystyle=\frac{1}{\deltax\deltay\deltaz}\frac{d(\deltax\deltay\deltaz)}{dt}\\&\displaystyle=\frac{\deltau\deltay\deltaz+\deltax\deltav\deltaz+\deltax\deltay\deltaw}{\deltax\deltay\deltaz}\\&\displaystyle=\frac{\deltau}{\deltax}+\frac{\deltav}{\deltay}+\frac{\deltaw}{\deltaz}\xrightarrow{\deltax,\deltay,\deltaz\to0}\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialv}{\partialy}+\frac{\partialw}{\partialz}=\nabla\cdot\vec{v}\end{array}$$ $$u,v,w$$分別是$$x,y,z$$方向的速度，而我們這一項正好是速度的散度(divergence)。

於是我們得到了一個可以形容三維流體的連續方程式： $$\displaystyle\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dt}+\nabla\cdot\vec{v}=0$$ 這一條連續方程式因為包含了$$\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dt}$$，因此是可以用來形容非穩定的流體(Non-steadyflow)。

如果流體速度的散度大於零的話，則代表這個控制體積內的流體流出率大於流入率，所以這個控制體積內的密度會隨著時間下降。

這個公式還可以有一個變形： $$\displaystyle\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dt}+\nabla\cdot\vec{v}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\rho}{\partialt}+v\cdot\nabla\rho\right)+\nabla\cdot\vec{v}=0$$ $$\displaystyle\rightarrow\frac{\partial\rho}{\partialt}+v\cdot\nabla\rho+\rho\nabla\cdot\vec{v}=\frac{\partial\rho}{\partialt}+\nabla\cdot(\rho\vec{v})=0$$ 對於不可壓縮的流體，$$\frac{\partial\rho}{\partialt}=0$$，因此$$\nabla\cdot(\rho\vec{v})=0$$。

在電磁學中，我們常常會把$$\rho\vec{v}$$寫成$$\vec{J}$$，也就是所謂的電流密度。

補充：Divergencetheorem 對於$$\nabla\cdot(\rho\vec{v})$$，我們可以利用divergencetheorem寫成 $$\displaystyle\nabla\cdot(\rho\vec{v})=\lim_{V\to0}\int\nabla\cdot(\rho\vec{v})\frac{dV}{V}=\lim_{A\to0}\oint(\rho\vec{v})\cdotd\vec{A}$$ 故可以想像成是在一個體積非常小的控制體積中，看看流體密度流對於控制面積（Controlsurface，控制體積的表面）的總通量為何（通常會選擇向外為正）。

更詳細的介紹請見《散度和旋度(DivergenceandCurl)》。

參考文獻 楊明仁。

Chapter3,Kinematicsoffluidflow.流體力學上課講義。

ContinuityandConservationofMatter—CIVE1400:FluidMechanics,UniversityofLeeds.http://www.efm.leeds.ac.uk/CIVE/CIVE1400/Section3/continuity.htm Tags:controlsurface,controlvolume,steadyflow,控制面積,控制體積,穩定流 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 [講義]科學史沙龍：陳竹亭教授、楊信男教授 【丁肇中獲頒諾貝爾物理獎40週年專題】丁肇中院士介紹 [影音]CASE【百秒說科學】微中子系列 沉睡的怪獸黑洞：臺灣旅美科學家馬中珮發現超大黑洞 [講座]2016春季展望─天文宇宙大發現 [演講]2014諾貝爾獎物理獎得主中村修二：嶄新光明大道 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 [演講]丁肇中院士獲頒諾貝爾物理學獎40週年 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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