[數學分析] 函數的單調性質(0)-淺論 - 謝宗翰的隨筆

[數學分析] 函數的單調性質(0)-淺論 ... 我們稱f 為單調(Monotone) 若f 為單調遞增或單調遞減。

以下我們看兩個經典的例子： Example: 1. 令f:R→R 滿足f(x) ... 跳到主要內容 [數學分析]函數的單調性質(0)-淺論 1月30,2012 令$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$為函數， Definition: 我們說$f$為單調遞增(Monotoneincreasing)若下列條件成立： 若$x_1x_2$則$f(x_1)\gef(x_2)$ 我們稱$f$為單調(Monotone)若$f$為單調遞增或單調遞減。

以下我們看兩個經典的例子： Example: 1. 令$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$滿足$f(x)=c$且 $c\in\mathbb{R}$則此常數函數既為單調遞增亦為單調遞減。

2.令$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$滿足$f(x)=|x|$則此絕對值函數並非單調遞增或單調遞減。

但注意到若我們修正絕對值函數的定義域，比如說令$f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$滿足$f(x)=|x|$則此絕對值函數成為單調遞增(讀者可自行證明此性質在此不贅述)。

以下我們給出幾個單調函數重要的結果： =============== Fact: 1. 若$f,g$為在區間$I\subset\mathbb{R}$上的遞增函數，則$f+g$亦為在$I$上遞增函數 2.若$f,g$為在區間$I\subset\mathbb{R}$上的遞減函數，則$f+g$亦為在$I$上遞減函數 =============== Proof:  我們只證明(1)，(2)留給讀者作為練習。

現在要證明 $f+g$在$I$上遞增，故由定義出發，令$x_1,x_2\inI$且$x_1a$其遞增性保證$f(x)\gef(a)$ =============== Theorem2: 遞增函數保證左右極限存在 令$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$為單調函數， 1.則對任意$t\in\mathbb{R}$，左極限與右極限$f(t-)$與$f(t+)$存在且有限，且$f(\infty-)$與$f(\infty+)$存在。

2.若$f$為單調遞增，則$f(t^-)\lef(t)\lef(t+)$ 3.若$f$為單調遞減，則$f(t^-)\gef(t)\gef(t^+)$ =============== Proof:omitted Theorem2: 考慮$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$為單調函數，現令集合$E\neq\emptyset$為$f$在${\bf\mathbb{R}}$上所有不連續的點所形成的集合，亦即 \[ E\doteq\{x\in\mathbb{R}:f\text{isdiscontinuousat$x$}\} \]則集合$E$只有以下兩種可能 1.$E$為有限(finite) 2.$E$為可數無窮(countablyinfinite) Comments: 1.我們說一個集合為有限表示此集合所含有的元素個素為有限多個。

另外我們說一個集合$E$為可數無窮表示存在一個一對一映射的函數$g:E\to\mathbb{N}$。

2.我們說一個函數$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$在$t\in\mathbb{R}$點不連續若且唯若其左右極限存在但與函數值不相等，亦即 \[ f(t^+):=\lim_{x\tot^+}f(x)\neq\lim_{x\tot^-}f(x):=f(t^-)\neqf(t) \] Proof: 注意到若$f$為單調遞增，則$-f$為單調遞減，但不連續的點個數相等，故我們可僅僅考慮$f$為單調遞增的情形。

令 \[ E\doteq\{x\in\mathbb{R}:f\text{isdiscontinuousat$x$}\}\neq\emptyset \]我們要證明(1)與(2)，基本想法為由於$f$取值為在實數軸$\mathbb{R}$上，故由有理數在實數軸上的稠密性來試圖說明為何(1)與(2)成立。

亦即對任意$x\inE$我們有$f(x^-)