複利(Compound interest) | 科學Online - 國立臺灣大學

複利(Compound interest) ... 原本看似不相關的複利公式與歐拉數，在極限的無窮威力下，卻變成了密不可分，這或許又是數學充滿無限想像的展現吧。

Thursday11thNovember2021 11-Nov-2021 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 複利(Compoundinterest) 國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯 錢滾錢的方式，可能讓人富有也可能讓有債務的人破產，那麼，錢如何滾錢呢？當然就財務上所謂複利的效果，也就是假設你有$$100$$萬元年初存入銀行，銀行給你一年$$2\%$$的利息，如果每一年計息一次，則一年後你銀行存款就會有$$100\times(1+0.02)=102$$萬，隔年如果繼續存款，那原本利息就會加入本金，也就是說新的一年度，你的本金就會變成$$102$$萬，第二年末的本利和就為$$102\times(1+0.02)=100\times(1+0.02)^2$$萬，如果繼續存了$$5$$年都未領出任何錢，則五年後你的銀行存款會有$$100\times(1+0.02)^5$$，我們利用圖（一）來表示這種情況。

像這種每年利息加入隔年本金計息的方式，我們就稱為複利，而如果現在有本金$$P_0$$，年利率定為$$r(100\%)$$，則$$t$$年後本利和就為$$P_0{(1+r)}^t$$，複利效果也就是等比級數的呈現。

現實生活中，計息週期的方式可能是以年、半年、季、月、半月、周和日計息，不同週期的計息方式，會得到不同的利息錢，而從直觀上，似乎計息的週期越短，錢滾錢效果好像越好，利息越多，真如直觀上的想法嗎？讓我們來驗證看看。

首先，假設一年計息的次數共$$n$$期，即由圖（一）將每一年分割成$$n$$等分且每一等分的利率就會變成$$\frac{r}{n}$$，$$t$$年就會變成$$nt$$期，所以，$$t$$年後本利和就更為$$P_0(1+\frac{r}{n})^{nt}$$。

假設某人借了現金卡$$10$$萬元，年利率$$18\%$$，在一年內都未還任何款項下，那讓我們來看當分別以年、半年、季、月、半月、週、和日計息時，一年後所需還錢會是多少？也就是當$$P_0=10$$萬、$$r=18\%$$、$$t=1$$，$$n$$不同情況的本利和會是多少？由表（一）發現本利和隨著期數增加，會逐漸增加，所以和我們直觀想法是一樣。

隨著期數越增越多至無限制時，又會如何呢？這樣本利和增加會有界限嗎？由表（一），我們可以初步發現似乎在不考慮小數位數下，到一定值會穩定，並不會無限制增加。

當然，如果想得到更精密結果，可能需要藉由數學嚴謹分析與證明，才可以得知該數列是否確實穩定下來，而不會再增加。

利用微積分的語言，我們就可以證明該數列是會收斂到某一個數值。

表（一）當$$P_0=10$$萬、$$r=18\%$$、$$t=1$$，不同利息週期下，一年後本利和 既然收斂一詞出現，就得套用為積分的語言，那麼，極限$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_0(1+\frac{r}{n})^{nt}$$會收斂於怎樣一個數？如果我們假設$$P_0=1$$、$$r=1$$且$$t=1$$，則複利公式就改成$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$$，而這個式子在數學上就稱為$$e$$，也就是歐拉數（Euler’snumber），如果模擬表（一）的方法，就可以發現$$e$$大約等於$$2.71828\mbox{…}$$，而$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_0(1+\frac{r}{n})^{nt}$$就會等於$$P_0e^{rt}$$，取以$$e$$為底的對數為$$\log_e$$，又可以寫成$$\ln$$，稱為自然對數。

原本看似不相關的複利公式與歐拉數，在極限的無窮威力下，卻變成了密不可分，這或許又是數學充滿無限想像的展現吧。

參考文獻： 毛爾（EliMaor）著（鄭惟厚譯），《毛起來說e》，台北：天下遠見出版社，2001年。

陳仁政，《不可思議的e》，北京：科學出版社，2005年。

  Tags:歐拉數,等比級數,複利 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

必要欄位標記為*迴響名稱* 電子郵件* 個人網站 驗證問題* 7−4= 熱門文章 母體變異數v.s.樣本變異數 理想氣體方程式 點到直線的距離公式 定壓熱容量（Cp）和定容熱容量（Cv）的差別（上） 次數分配與其圖表 準確度和精確度 Z-檢定、t-檢定 比爾定律與吸收度 游離能 白努利原理 總點閱排行 點到直線的距離公式 細胞膜運輸物質的方式 比爾定律與吸收度 混成軌域 腎素-血管收縮素-醛固酮系統 準確度和精確度 穿透式電子顯微鏡 好站鏈接 科學online粉絲專頁 Insertmathas Block Inline Additionalsettings Formulacolor Textcolor #333333 FormulaID Formulaclasses TypemathusingLaTeX Preview \({}\) Nothingtopreview Insert