彈力位能| 學呀- 物理| 虎克定律、彈簧、積分證明

彈性位能是什麼 ... 我們知道，若是將物體放置到高處，在沒有東西支撐的情況下，物體會自己落下。

而在落下的過程中，物體的動能不斷地增加，這是因為物體本來的重力位能被 ... 返回目錄頁 物理學的世界 什麼是物理？ 科學方法 測量與實驗 有效位數 物理中的數學方法 向量 物理學中的微積分 常用的微分與積分公式 直線與平面運動 速度與速率 加速度 位移、速度、加速度 自由落體 相對運動 拋物線運動 力與運動 慣性定律 力與加速度 作用力與反作用力 力圖 摩擦力 虎克定律 靜力平衡 功與能量 作功 能量與守恆 動能 重力位能 彈力位能 功率 動量與碰撞 動量是什麼？ 動量守恆 彈性與非彈性碰撞 轉動 從角位置到角加速度 轉動慣量與轉動動能 常見的轉動慣量 平行軸定理 力矩 角動量守恆 滾動 轉動與平移運動公式 圓周運動與星體運動 等速率圓周運動 萬有引力定律 衛星運動 克普勒第一定律 克普勒第二定律 克普勒第三定律 簡單機械原理 斜面原理 槓桿原理 齒輪與履帶 定與動滑輪 簡諧運動 彈簧的簡諧運動 單擺的簡諧運動 波、聲音、光 什麼是波？ 波的種類 波速、頻率、波長 聲波 共振與回聲 流體力學 液體的特性 液體壓力 浮力 流體的動力分析 表面張力 熱力學 溫度與熱 熱、比熱、溫度 物質的三相 溫度的轉移與平衡 作功與溫度 熵 熱力學第一定律準靜態過程 光的基本介紹 電磁波與光 反射作用 光與顏色 凹面鏡與凸面鏡 折射作用 凹透鏡與凸透鏡 成像公式 折射與反射的生活應用 電 電荷與起電 導體、絕緣體、半導體 靜電力 電場與電力線 導體的靜電平衡 平行板電場 電位差與電能 電容 電流與電阻 電的生活應用 電路與電路元件 串聯、並聯、等效電阻 電功與生活用電 神奇的光 薄膜干涉 單狹縫干涉 雙狹縫干涉 尚未登入 前去登入/註冊 首頁&搜尋 所有課程 分享資源 最愛課程 收藏內容 常見問題 關於學呀 線上募款 分享章節 將此章節分享到您所屬的Google教室班級中。

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致教育 感謝以下內容貢獻者的編輯 NeilLu 彈力位能 課程目錄 編輯課程 分享至Google教室 彈簧的能量 彈性位能是什麼 我們知道，若是將物體放置到高處，在沒有東西支撐的情況下，物體會自己落下。

而在落下的過程中，物體的動能不斷地增加，這是因為物體本來的重力位能被轉換成動能。

同樣的道理，如果我們今天將一個木塊推向彈簧，使得彈簧被推離平衡位置之後放開手，我們可以看到木塊被彈簧彈出去了。

木塊的速度發生改變，因而產生了動能。

而這些動能是哪裡來的呢？ 沒錯，就是從一開始的彈簧來的。

在我們推動彈簧的同時，便是在將能量儲存到彈簧中，等到手放開木塊的那一剎那，彈簧所儲存的彈力位能便開始被轉換為物體的動能。

同樣關係到彈性位能的還有橡皮筋的拉伸、鬆緊帶的縮放、彈弓的彈射等。

用作功看位能 讓我們試著直覺地思考，彈簧在什麼情況下不帶有任何的彈性位能？這個問題簡單明瞭，任何不懂物理的人都能回答：在彈簧沒有被壓縮或伸展的情況下。

因此，讓我們從彈簧平衡的時候開始討論。

首先，彈簧在平衡時是沒有彈力位能的。

而當我們開始壓縮彈簧，彈力位能也就隨之增加。

現在一個很重要的問題來了：這些增加的位能是從何而來的？這個的答案也很簡單：因為是我們用手推動彈簧，表示彈力位能是源於手對彈簧的作功。

在知道了這一點後，我們便可以計算彈簧的彈力位能了。

我們先來複習一下作功的基本定義： $$W=F\cdots$$ 其中，$F$代表著所施的力，而$s$代表著施力所造成的位移。

這裡需要注意，因為施力所造成的位移，因此在求位移時，必須求得的是與施力平行的位移，才能得到正確的結果。

上述這個式子只能在施力相等的情況下使用，也就是說，在位移的過程中，物體所受的力量大小必須保持在同一個值。

然而，我們可以思考一下，根據虎克定律，手對彈簧的施力隨著位移而改變： $$F=-k\cdot\DeltaX$$ 這也表示，在彈簧壓縮的過程中，施力並不保持一定，因此我們不能使用上面作功的式子。

不過，只要我們將該式寫作積分的形式，就可以順利地使用了！這是因為積分的過程中，我們將位移切作無限個小區塊，在各個小區塊內的施力都保持相等，因此可以用來計算作功。

$$W=\intF\cdotds$$ 另外，彈簧的位移$s$就是虎克定律中的$\DeltaX$，以下寫作$X$。

帶入虎克定律的式子後，我們可以得到： $$W=\int(k\cdotX)\cdotdX$$$$=\frac{1}{2}kX^2$$ 因此，我們便得到彈力位能$U$的公式，其中，$k$代表彈簧的彈力係數，而$X$代表彈簧末端最後與平衡位置的距離，即彈簧的壓縮量： $$U=\frac{1}{2}kX^2$$ 三角形面積計算位能 物理與數學最美麗的地方在於，我們不需要死背公式也可以學會怎麼計算，將觀念理解的透徹。

上面我們使用積分來計算彈力位能，然而，我們只需要將作功的定義理解清出，便可以用圖表來解決。

在具有一些微積分的知識後，我們知道作功其實就是施力對位移的圖形中，函數下方的圖形面積。

而因為虎克定律為一個線性函數，我們可以作出下列的圖，利用三角形面積來計算彈力位能： 思考彈力位能的公式 在經過了上面的公式推導後，我們得到了萬用的彈力位能公式。

只要彈簧遵守虎克定律，並且維持在彈性限度內，其彈力位能： $$U=\frac{1}{2}kX^2$$ 仔細觀察這個公式後，你可能會有疑問：明明是一個簡簡單單的彈簧，我用手輕輕鬆鬆就推動它了，為什麼彈力位能的公式會有$X^2$？其實，這並不奇怪，我們可以用一點生活經驗去思考： 假設你手上拿著一個有點硬的彈簧，現在，你用食指與拇指想要把彈簧壓扁。

剛開始，彈簧只被壓縮一點點時，你會覺得輕鬆而不費力。

然而，當你繼續對它施力，彈簧越來越趨近於被壓扁時，你會覺得壓扁彈簧不再輕鬆，而是相當費力的。

沒錯，剛開始壓扁彈簧時，你的手花費不怎麼多的能量在壓縮這個彈簧。

當彈簧愈來愈扁，也就是$X$愈來愈大時，你的手需要花費愈來愈多的能量才能壓扁它。

因此我們可以合理地推測，彈力位能與伸長量並不單單只是正比關係，而是平方關係—的確，公式正是這樣告訴我們的！ 上一章節 下一章節 使用者分享的影片來自YouTube。

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