經濟學應用：無差異曲線

這表示冰淇淋與西瓜間有替代的功能存在。

如果我們將這種替代效果，理想地描繪出來，就變成右圖的所謂無差異曲線，每一條曲線各表示同樣效用 ...   經濟學應用：無差異曲線 翁秉仁   首頁|搜尋 ．作者任教於台大數學系 ．本文節錄改寫自作者《微積分講義》   在夏天，冰淇淋與西瓜都有消暑的功效，但是顯然吃多了冰淇淋，您就不想吃西瓜，反之亦然。

這表示冰淇淋與西瓜間有替代的功能存在。

如果我們將這種替代效果，理想地描繪出來，就變成右圖的所謂無差異曲線，每一條曲線各表示同樣效用的替代關係。

如果令g(x,y)表示x單位西瓜與y單位冰淇淋的效用函數，則無差異曲線就是g(x,y)=C的曲線族（等效用線）。

X=西瓜，Y=冰淇淋 Claim. 由常識，無差異曲線是遞減，凹向上的不相交曲線族。

說明： (1)遞減 :多吃西瓜就會少吃冰淇淋（這正是替代的意思）。

(2)凹向上（即 會遞減）：當西瓜所佔的份量多時，多吃一片西瓜能代替的冰淇淋份量， 顯然比西瓜少時，多吃一片西瓜能代替的冰淇淋份量來得少，這是邊際效用遞減的結 果。

習題： 說明無差異曲線不應該相交。

（Hint：若相交在替代效應上會出現荒謬的結果。

） 現在假設,我們有一筆固定而且要花光的預算來買西瓜與冰淇淋, 其中Px為西瓜的價格，Py為冰淇淋的價格，B是總預算。

我們希望 得到最大的效用，這是一個有限制條件的極值問題，令 f(x,y)=Pxx+Pyy-B=0 由Lagrange乘子法 由此我們得到，極值點滿足方程式 即各自邊際效用與價格比率相等之點。

習題： 請經濟地解釋這個定理。

現假設 且Px=1,Py=2,B=9，代入前面的方程式得 則y=x（y=-x不合），所以x+2y=9，解得x=3,y=3。

注意到，y=x的解條件其實與B的大小無關，這表示隨著預算的昇高，總採購量雖然變多了，但是西瓜與冰淇淋購買的比例卻保持為1:1。

這個消費者，並沒有因為預算的增加，就特別偏袒某一項產品。

習題： (續上例)若Px=2,Py=1,會造成偏袒嗎？ （Ans.極值點條件為y=2x，比例固定為1:2，不因為預算升高而偏袒某商品。

） 習題： 設 ,Px=1,Py=3,B=20。

(1)說明g(x,y)=C>0滿足無差異曲線的要求。

(2)求極值點之條件。

(3)有沒有因為預算升高而偏袒某商品的情形發生？ 習題： 設 ,x,y>0, Px=1,Py=2,B=20. (1)說明g(x,y)=C>0滿足無差異曲線的要求。

(2)求x,y購買之數量？ (3)有沒有因為預算升高而偏袒某商品的情形發生？ 習題： 設商品X,Y可相互替代，效用函數為 ，其中 , x,y>0. (1)說明g(x,y)=C>0滿足無差異曲線的要求。

(2)取 三種情況，討論極值點條件與偏袒的問題。

(3)證明當預算升高時，一般會發生如下偏袒現象     （若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。

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