增減數列- 維基百科，自由嘅百科全書

增減數列 ... 增減數列（Monotone Sequence）係數學上其中一種數列，數列入面嘅數值只可以增加或者減少，所以叫做增減數列。

增減數列 出自維基百科，自由嘅百科全書 跳去導覽 跳去搵嘢 增減數列（MonotoneSequence）係數學上其中一種數列，數列入面嘅數值只可以增加或者減少，所以叫做增減數列。

定義[編輯] 假設 ( x n ) {\displaystyle(x_{n})} 係實數列。

如果 x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ ⋯ ≤ x n ≤ x n + 1 ≤ ⋯ {\displaystylex_{1}\leqx_{2}\leqx_{3}\leq\cdots\leqx_{n}\leqx_{n+1}\leq\cdots} 咁 ( x n ) {\displaystyle(x_{n})} 就係增長數列（Increasing）。

如果 x 1 ≥ x 2 ≥ x 3 ≥ ⋯ ≥ x n ≥ x n + 1 ≥ ⋯ {\displaystylex_{1}\geqx_{2}\geqx_{3}\geq\cdots\geqx_{n}\geqx_{n+1}\geq\cdots} 咁 ( x n ) {\displaystyle(x_{n})} 就係遞減數列（Decreasing）。

如果 ( x n ) {\displaystyle(x_{n})} 係增長或者係遞減，咁佢就係一條增減數列。

增減趨向定理[編輯] 假設 ( x n ) {\displaystyle(x_{n})} 係一條增減數列而家趨向一點，咁佢一定係被綁定，反之亦然。

（ ⟺ {\displaystyle\iff} ）同時， 如果 ( x n ) {\displaystyle(x_{n})} 係增長數列，咁 lim ( x n ) = sup { x n : n ∈ N } {\displaystyle\lim(x_{n})=\sup\{x_{n}:n\in\mathbb{N}\}} 。

如果 ( x n ) {\displaystyle(x_{n})} 係遞減數列，咁 lim ( x n ) = inf { x n : n ∈ N } {\displaystyle\lim(x_{n})=\inf\{x_{n}:n\in\mathbb{N}\}} 。

證明： ( ⇒ ) {\displaystyle(\Rightarrow)} 因為綁定性質，所以係啱嘅。

( ⇐ ) {\displaystyle(\Leftarrow)} 假設 ( x n ) {\displaystyle(x_{n})} 係被綁定同時佢係增長數列。

因為佢係被綁定，所以會存在一個實數 M ∈ R {\displaystyleM\in\mathbb{R}} ，令到所有嘅項都符合 x n ≤ M {\displaystylex_{n}\leqM} 。

利用實數嘅完備定理，可以知到會有一點 x := sup { x n : n ∈ N } {\displaystylex:=\sup\{x_{n}:n\in\mathbb{N}\}} 。

（想要證明到 x {\displaystylex} 就係 ( x n ) {\displaystyle(x_{n})} 趨向嗰一點） 畀任何一個 ε > 0 {\displaystyle\varepsilon>0} ，將 x − ε {\displaystylex-\varepsilon} ，並得知佢唔係 ( x n ) {\displaystyle(x_{n})} 嘅上限，所以會有一個第 x K {\displaystylex_{K}} 項符合 x − ε < x K {\displaystylex-\varepsilon