單調序列(monotonic sequence)

單調序列(Monotonic sequence) · 在實數系中，每個有界(上、下界)遞增數列都會收斂到某一實數。

· 在實數系中，每個有界(上、下界)遞減數列都會收斂到某一實數。

mathematical_analysis Introduction 數學分析 邏輯(Logic) 集合的運算 實數(Realnumber) Dedekind分劃(cut) Dedekind分劃2(cut) 集合(Set) 集合2(Set) Cantor集合 Cauchysequence 單調序列(monotonicsequence) 不等式(Ineqlity) 歐式空間(Euclideanspace) 可數集合(Countableset) 歐式空間拓樸集(Euclideanspacetopology) 開集合(openset) 閉集合(closeset) 稠密集合(denseset) 緊緻集合(compactset) 緊緻集合等價敘述(compactsetequivment) 緊緻集合應用(compactsetapplication) 連通集合(connectedset 度量空間(Metricspace) Hausdorff空間 點拓撲集定義(Pointtopologydefinition) 點拓撲集定義2(Pointtopologydefinition2) 點拓撲集理論(Pointtopologytheorem) 序列(Sequence) 級數(Series) 函數(Function) 微分(Derivative) 微分2(Derivative) 向量微分(Derivativeofvector) 有界變分(Boundedvariation) Riemann-Stieltjes可積分函數性質 Riemann-Stieltjes積分存在性 Riemann-Stieltjes積分存在性2 Riemann-Stieltjes積分微積分定理 Lebesgue積分 Sigmafield(algebra) 測度(Measure) 可測函數(Measurablefunction) 隨機變數收斂性(Convergenceofr.v.) 複數(Complexnumber) 向量空間(Vectorspace) 賦範空間(Normedspace) 劣梯度(Subgradient) Weierstrasstheorems PoweredbyGitBook 單調序列(monotonicsequence) 單調序列(Monotonicsequence) 定義：單調數列(monotonicsequence) {an}\{a_n\}{a​n​​}為一數列。

遞增數列(increasingsequence):∀n∈N, an≤an+1\foralln\in\mathbb{N},\a_n\leqa_{n+1}∀n∈N, a​n​​≤a​n+1​​. 遞減數列(decreasingsequence):∀n∈N, an≥an+1\foralln\in\mathbb{N},\a_n\geqa_{n+1}∀n∈N, a​n​​≥a​n+1​​. 以下定理告訴我們不必知道極限而能判定收斂數列的方法。

Theorem:有界單調數列必定收斂 在實數系中，每個有界(上、下界)遞增數列都會收斂到某一實數。

在實數系中，每個有界(上、下界)遞減數列都會收斂到某一實數。

Proof(1): 令{an}\{a_n\}{a​n​​}為一有界遞增數列，因為有界，所以可找到a,b∈R ∋an∈[a,b), ∀n∈Na,b\in\mathbb{R}\\nia_n\in[a,b),\\foralln\in\mathbb{N}a,b∈R ∋a​n​​∈[a,b), ∀n∈N. 只需證明{an}\{a_n\}{a​n​​}為Cauchy數列，即前述定理可知Cauchy數列在實數系中會收斂到某一實數。

∀ϵ>0\forall\epsilon>0∀ϵ>0，根據Archimedes性質可知∃k∈N∋k>(b−a)/ϵ\existsk\in\mathbb{N}\nik>(b-a)/\epsilon∃k∈N∋k>(b−a)/ϵ。

將區間[a,b][a,b][a,b]切為kkk等分點，a0=a