证明数列收敛的方法总结 - 赛氪

证明数列收敛的方法总结,作者:,简介:思路一：利用数列的定义证明一般来说，如果已知数列的表达式，欲证明数列的极限是给定的实数，那么我们通常采用 ... 赛氪 首页 竞赛 活动 提升 图书 题库 实习 创建竞赛 发布活动 发起提问 发表文章 登录/注册 证明数列收敛的方法总结 数列极限 证明技巧 高航·浙江大学 2016-07-29 关注48· 评论2· 阅读数19176 思路一：利用数列的定义证明 一般来说，如果已知数列的表达式，欲证明数列的极限是给定的实数，那么我们通常采用定义法来证明数列收敛。

首先，我们再来回顾一下数列极限的概念。

如果对于任意\(\epsilon>0\)，都存在\(N\)，使得对任意\(n\geqN\)都有\(|a_n-A|0\)，需要找到使得\(\left|{\frac{1}{{{n^2}}}-0}\right|\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}}\)，所以取\(N=\left[{\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}}}\right]+1\)就可以了（方括号表示取整数部分）。

因为经过了这样的分析，接下的证明我们径直如是取\(N\)的值。

证明：\(\forall\varepsilon>0\)取\(N=\left[{\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}}}\right]+1\)，当\(n\geqN\)时， \(\left|{\frac{1}{{{n^2}}}-0}\right|=\frac{1}{{{n^2}}}\leqslant\frac{1}{{{N^2}}}0\)，\(\left|{\frac{{10n}}{{{n^2}+1}}-0}\right|=\frac{{10n}}{{{n^2}+1}}0\)取\(N=\left[{\frac{{10}}{\varepsilon}}\right]+1\),当\(n\geqN\)时， \(\left|{\frac{{10n}}{{{n^2}+1}}-0}\right|=\frac{{10n}}{{{n^2}+1}}0\)，取\(N=\max\left\{{7,\left[{\frac{2}{\varepsilon}}\right]+1}\right\}\) 当\(n\geqN\)时，\(\left|{\frac{{5n{}^3+n-4}}{{2{n^3}-3}}{\text{-}}\frac{{\text{5}}}{{\text{2}}}}\right|=\frac{{2n+7}}{{2\left|{2{n^3}-3}\right|}}=\frac{{2n+7}}{{2\left|{{n^3}+{n^3}-3}\right|}}0\) \(\therefore\)数列单调递增 \(\therefore\)数列\(\{a_n\}\)收敛 证明数列收敛以后，我们可以求得数列的极限。

另外，还可以通过证明数列是柯西序列来证明数列收敛，后面级数敛散性经常利用柯西准则判别。

由于高等数学要求没有这么高，本文只简单提及这种方法，有兴趣的读者可以自己研究。

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