賭徒破產理論(Gambler's ruin)機率公式證明 - Quanist理財智

賭徒破產理論(Gambler's ruin)指指的是兩位賭徒，每局賭1元，A賭徒有i元，B賭徒有n-i ... 我能找誰詢問，解決「Googlebot便不得不放棄要求」的問題？ 跳到主要內容 賭徒破產理論(Gambler'sruin)機率公式證明 7月02,2021 賭徒破產理論(Gambler'sruin)指指的是兩位賭徒，每局賭1元，A賭徒有i元，B賭徒有n-i元，兩人不斷的賭，直到一人輸光為止。

回到「機率統計」頁面前言假設A賭徒勝率為p，輸的機率就是1-p，稱為q，我們要求算A贏光所有錢的機率。

讓p(i)代表A賭徒擁有i元的時候，獲得最後勝利的機率。

p(0)=0，因為已經輸光所有錢並且賭局已結束。

p(n)=1，因為已經贏光所有錢並且賭局已結束。

那麼p(i)呢？遞迴公式(recursiveformula)假設A有i元，它下一局有可能贏，有可能輸。

贏的機率為p，輸的機率為1-p=q。

不論這一局是贏還是輸，A要贏光所有錢的機率還是沒有算出來。

這局贏了，接下來贏光所有錢的機率為p(i+1)。

這局輸了，接下來贏光所有錢的機率為p(i-1)。

因此，p(i)=p*p(i+1)+q*p(i-1)，且可以繼續延伸，例如p(i+1)=p*p(i+2)+q*p(i)、p(i-1)=p*p(i-)+q*p(i-2)...每個公式需要套用原本的公式，稱為遞迴公式公式，而遞迴公式解法可以像解微分方程(differentialequation)一樣，可以先用猜的！例如dx/dt=rx，微分之後x還是在公式裡，可以先猜測x=e^y。

猜測假設，p(i)=xi，並帶入p(i)=p*p(i+1)+q*p(i-1)，得到 xi  =p*xi+1 +q*xi-1x=p*x2 +qp*x2 -x+q=0解一元二次方程式得x=1或x=q/p微分方程p(i)=xi，x=1或x=q/p，且有兩已知數p(0)=0及p(n)=1。

而xi的x有兩個根(root)，必須都帶入線性組合(linearcombination)公式求解。

p(i)=A(1)i +B(q/p)i = A+ B(q/p)i p(0)=A+B=0，A=-Bp(n)=A+B(q/p)n  =1A+B(q/p)n =-B+ B(q/p)n =B(-1+ (q/p)n)=1 B=1/ ( (q/p)n -1) A= 1/ (1- (q/p)n)故，p(i)=A(1)i +B(q/p)i = 1/ (1- (q/p)n)+ (q/p)i / ( (q/p)n -1)=((q/p)i -1)/ ( (q/p)n -1)這個答案僅適用當p不等於q的時候，因為我們假設x有兩個根，如果p=q，則q/p=1，這樣的話就只有一個根了。

當p=q如果p=q，我們可以用極限來解，也就是讓p非常接近q，得到((q/p)i -1)/ ( (q/p)n -1)= 0/0使用羅必達法則(L'Hôpital'srule)，除數及被除術都以q/p微分，得到i*(q/p)i-1 /n*(q/p)n-1  = i/n應用可參考：短線操作賺大錢之賭徒破產理論(gambler'sruin)工具賭徒破產理論機率計算可參考：賭徒破產理論機率計算回到「機率統計」頁面  分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 標籤 機率 Labels: 機率 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 留言 這個網誌中的熱門文章 母體變異數(populationvariance)、樣本變異數(samplevariance)及自由度(degreesoffreedom) 6月25,2021 母體指的是所有的數據，樣本指的是從母體抽樣的數據，舉例來說，一個班級有40人，它們的身高，40個身高數據，若只針對這個班，就是母體，但是，卻只是代表全校學生身高的一部分，也就是樣本。

回到「機率統計」頁面樣本平均數(mean)不是母體平均數，樣本變異數(variance)也不是母體變異數，一個班40個人身高的平均數很難剛好是全校學生的身高平均數。

一個班40個人的身高變異數也不會是全校學生的身高變異數。

變異數計算母體變異數的定義如下：而樣本變異數的定義如下：奇怪的地方平均數雖然樣本平均數不是母體平均數，不過，如果不斷重複從同一個母體抽樣平均，會得到一個近似母體平均數的數字。

舉例來說，從一個學校所有學生中，不斷隨機選出40個學生取平均數，再將這些平均數平均，結果會接近直接算全校學生的身高平均數。

也就是說樣本平均數的期望值就是母體平均數：變異數樣本變異數跟母體變異數就沒這麼單純了。

奇怪的地方是，為什麼樣本變異數公式的除術是n-1，而不是像平均數計算一樣用n？為何樣本變異數要除的是(n-1)？除數為n的話，變異數會太小如果樣本變異數的除數是n，樣本變異數就會常常比母體變異數小。

為什麼呢？因為，樣本是從母體抽取的，抽樣的數據算出平均，並且抽樣的數據會相對的接近抽樣的平均，總不會剛好抽出的樣本平均數剛好是母體平均數，且樣本數據離樣本平均數就像母體數據離母體平均數一樣分散吧？假設母體數據為0-99的整數，共100個數據，從中選出10個數字，然後計算樣本的平均數，分別用n及n-1當作除數算出變異數，連續執行200次，並將200個樣本平均數及200個樣本變異數平均。

也就是取得樣本平均數及樣本變異數的期望值，結果如下：母體平均數=49.5 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 張貼留言 Readmore» 中央極限定理(centrallimittheorem)證明 7月02,2021 中央極限定理(centrallimittheorem)指的是從一個獨立同分布(Independentandidenticallydistributed,i.i.d)取出之變數數量趨近無限多時，其平均數(mean)將趨近常態分布(normaldistribution)。

回到「機率統計」頁面目錄：動差母函數(momentgeneratingfunction)常態分布的動差母函數中央極限定理證明中央極限定理模擬中央極限定理應用動差母函數(momentgeneratingfunction)動差母函數為機率密度函數(probabilitydensityfFunction,PDF）及累積分佈函數(cumulativedistributionfunctionCDF)之外，另一種描述機率分布模型的一種方式。

定義MX(t)=E[etx]而etx的泰勒級數(Taylorseries)為etx =1+tx+t2x2/2!+ t3x3/3!+...則MX(t)的泰勒級數為MX(t)=E[etx] =1+tE[x]+ t2/2!E[x2]+ t3/3!E[x3]+...因此，當t=0時，以t取動差母函數m次微分，就可以找到其分布模型的第m動差。

特性MX+Y(t)=E[et(x+y)]= E[etx+ty]= E[etxety] = E[etx] E[ety]= MX(t) MY(t) 常態分布的動差母 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 張貼留言 Readmore» 短線操作賺大錢之賭徒破產理論(gambler'sruin) 6月27,2021 短線操作依據各項技術指標、籌碼及消息分析，短期內執行買進及賣出交易，方向看的準勢必賺大錢，方向看不準勢必賠大錢。

依據統計學裡的賭徒破產理論，短線操作勝率如果只是50%的話非常危險。

賭徒破產理論(gambler'sruin)賭徒破產理論通常指的是：一個賭本有限的賭徒跟一個賭本無限的賭徒不斷互賭，即使兩者勝率一樣都是50%，時間只要夠久，賭博次數只要夠多，賭本有限的賭徒一定會破產。

數學公式證明：賭徒破產理論(Gambler'sruin)機率公式證明為什麼呢？假設A跟B賭錢，彼此勝率皆為50%，賭輸的人要給賭贏的人1塊錢，賭到一方破產為止。

假設他們彼此都持有1元，A破產的機率有多少？恰恰好是50%，因為賭一局定勝負。

如果B贏了A的1塊錢，A破產；不過，B破產的機率跟A一樣，因為B也是只有1塊錢，第1局輸了就沒了。

假設現在A有1塊錢B有2塊錢呢？在第1局A就破產的機率還是50%，因為他只有1塊錢，有50%的機率會輸，然而，B破產機率就比較低，他有2塊錢，無論如何都不會在第1局就破產。

假設現在A有1塊錢B有3塊錢呢？以此類推，只要B的錢比較多，A就是比較容易破產。

因此，投資人短線操作的交易對像如果資金豐厚，那就很危險了事實上，只要賭博次數夠多，兩人勝率一樣，一定會有一人破產，因為兩人的資金加起來假設是n元，遲早會出現其中一方連續贏n局，並贏得所有資金，導致另一方破產，賭局就會結束；雖然機率很低，只要賭博次數夠多就會發生。

風險管控也是這個概念。

賭徒破產理論機率計算可至本站「工具」頁面計算：工具。

勝率如果大於50%操作短線如果勝率沒有大於50%的話相當危險，容易賠光光。

所以要練到勝率超過50%。

可以試試看下面這個每秒賭40局1元的模擬器。

賭博模擬器勝率:%賭本：10賭！重置結論股票技術面、籌碼面及基本面分析需要彼此配合使用，才能得到比較完善的投資結論，舉例來說，2020年爆發全球新冠肺炎疫情危機時，台灣加權指數跌破10年線，在技術分析上是個買點，不過，歷史上也有跌破10年線之後繼續跌的例子，需要搭配分析美國聯準會將聯邦基準利率降至0%到0.25%等因素，綜合分析才能得到自己滿意的分析結果。

十年線操作經歷，可參考：https://quanist.blogspot. 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 張貼留言 Readmore» GoogleSearchConsole無法為Blogger建立索引，出現伺服器錯誤(5XX) 6月13,2021 這幾天，我把我Blogger的網址改了幾次，為了測試Google是否有把我的網頁加進搜尋索引，我到了GoogleSearchConsole做了測試，結果出現錯誤，伺服器錯誤（5xx）！回到「部落格經營」頁面⇦Blogger文章在Google搜尋引擎找不到，怎麼辦？GoogleAdSense要幾篇文章才能通過之審查甘苦談⇨我非常驚訝，我用的是Google自家的部落格平台，怎麼可能被Google封鎖；我想可能是我剛改網址，系統還不允許排入谷歌搜尋引擎。

官方網站「GoogleSearchConsole說明(註1)」出現的解釋是當Googlebot無法存取網址、要求逾時，或是網站處於流量高峰狀態時，就會出現伺服器錯誤。

在此情況下，Googlebot便不得不放棄要求。

我能找誰詢問，解決「Googlebot便不得不放棄要求」的問題？我就滿心憂慮地去睡覺了。

隔天一早起來，我第一件事就是重新在GoogleSearchConsole測試我的網頁，還好過了。

真是虛驚一場。

另外，如過要查詢伺服器狀態可以到GoogleSearchConsole的「設定」去看。

點選「設定」。

點選「檢索統計資料」的「開始報表」。

點選「主機狀態」，即可查看伺服器各種數據。

註1擷取自「GoogleSearchConsole說明」，https://support.google.com/webmasters/answer/7440203?hl=zh-Hant#zippy=%2C%E4%BC%BA%E6%9C%8D%E5%99%A8%E9%8C%AF%E8%AA%A4，2021/6/13回到「部落格經營」頁面⇦Blogger文章在Google搜尋引擎找不到，怎麼辦？GoogleAdSense要幾篇文章才能通過之審查甘苦談⇨ 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 6則留言 Readmore» 聯博美國成長基金每日追蹤誤差統計 12月11,2021 本文內容為聯博美國成長基金每日績效追蹤誤差，追蹤的指數為羅素1000成長指數ETF(IWF)，誤差為正表示贏過指數，誤差為負表示輸於指數，另提供羅素1000成長及聯博美國成長基金日績效平均值及標準差，目的是要研究聯博美國成長基金是否值得投資。

羅素1000成長指數日報酬，平均值：%，標準差：%。

聯博美國成長基金數日報酬，平均值：%，標準差：%。

聯博美國成長基金追蹤誤差平均值：%。

單日變化日期指數(%)基金(%)誤差(%) 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 張貼留言 Readmore» 要存多少錢才能退休？ 6月20,2021 每個人學投資理財的目的不同，但是相信「提早退休」絕對是很多人的夢想。

或許我們投資賺了許多錢，但是到底要多少，才夠安枕無憂退休呢？首先我們要確認每月生活費目標，假設我現在30歲，生活費需要每月4萬，沒有貸款，並預留緊急預備金100萬。

目錄靠股票或債券配息達到投資目標金額後慢慢花完結論靠股票或債券配息以年配息率5%來算，1,000萬的股票或債券每年會有50萬配息，剛好超過一點每月4萬生活費的需求(4萬X12=48萬)，所以我們只需要48萬/0.05=960萬，就可以達到每月領4萬元配息的目標。

再加上緊急預備金100萬，要存股(或債券)存到960萬+100萬=1,060萬才能退休。

單筆投資我在30歲如果單筆投資200萬，同時假設股票或債券報酬率為5%，那我要到幾歲才能退休？計算公式如下：200(1+0.05)^n=10601060/200=1.05^n5.3= 1.05^nlog(5.3)=n*log(1.05)n= log(5.3)/ log(1.05)=34.18也就是要34.18年，無條件進位取35年的話，剛好在65歲退休。

定期定額投資我在30歲如果每月定期定額投資1萬，同時假設股票或債券年報酬率也是5%，我要到幾歲才能退休？年報酬率是5%，月報酬率就是5%/12=0.416667%計算公式如下：((1+0.00416667)^n-1)/0.00416667=10601.00416667^n-1= 4.416671.00416667^n= 5.41667n*log(1.00416667)=log(5.41667)n= log(5.41667) / log(1.00416667)=406.32需要406.32個月才能達標，無條件近位取407個月的話，也要407/12=33.91年，也就是快64歲才能退休。

上述公式證明(顯示/不顯示)B=P(1+r)^(n-1)+P(1+r)^(n-2)+P(1+r)^(n-3)+...+PB(1+r)= P(1+r)^n +P(1+r)^(n 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 張貼留言 Readmore» 中央極限定理(centrallimittheorem)之用均勻分布(uniformdistribution)模擬常態分布(normaldistribution) 6月21,2021 中央極限定理 (centrallimittheorem)指的是只要從任何一個分布取出樣本後平均，樣本數量越多，這個平均會越接近常態分布(normaldistribution)。

數學證明可參考：中央極限定理(centrallimittheorem)證明中央極限定理好用的地方在模擬現實生活中的很多現象，就算不確定某個事件的機率分布，只要取其平均，就可以用常態分布模擬。

舉例來說，股價可以用對數常態分布(log-normaldistribution)來模擬，也就是說，股票報酬可以用常態分布模擬。

可參考：股票走勢模擬假設從某個數據庫，隨機選取4個樣本叫做X1、X2、X3、X4，然後將樣本平均，也就是(X1+X2+X3+X4)/4=Xi，然後不斷重複選取4個樣本取平均，Xi會遵循常態分布；其平均值(mean)就是原數據庫的平均值，標準差(standarddeviation)就是原數據庫的標準差除以每次樣本數開根號(根號4=2)。

電腦應用中央極限定理其中一個應用就是可以用別的已知分布模型來模擬常態分布，舉例來說程式語言javascript沒有用常態分布取得隨機參數的方式。

但是可以藉由javascript原生產製的數據，藉由平均樣本來模擬。

舉例來說，我可以用javascript產至1000組範圍0到10的隨機數字，再從其中選5個數字作為樣本，然後看看樣本平均(為了方便做圖，皆四捨五入)是否遵循常態分布。

回到「工具」頁面模擬計算javascript程式碼分享有需要用js來產生常態分布樣本的人可以參考這邊的程式碼。

首先設定常態分步的標準差及平均值，得到相對應均勻分布的上下限：假設常態分步的平均值為x，標準差為y則相對應的均勻分布的上下限分別為：上限則為x+y*√12/2，上限則為x-y*√12/2。

有了均勻分布的上下限，就可以求得其散步範圍(range)，也就是上限減去下限：y*√12。

假設要模擬的常態分步平均值為10，標準差為20，則 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 張貼留言 Readmore» 越早投資越好嗎？ 6月23,2021 投資要趁早，因為越早投資可以越快達到投資目標，若是提早投資將投資時間拉長，善用複利的效果，投資成效也會相當可觀。

單筆投資複利公式：終值=(1+年報酬率)^年定期定額投資複利公式：終值=((1+年報酬率)^年-1)/ 年報酬率複利效果單筆投資就以單筆100萬元投資，且年報酬率5%來看，投資10年、20年、30年的結果如下表：投資時間資產價值資產比前10年增加10年162.89萬元62.89萬元20年265.33萬元102.44萬元30年432.19萬元166.88萬元第20年到第30年同樣是10年的時間，資產增加的速度明顯比第10年到第20年還快。

定期定額投資假設每月投資1萬元，年報酬率5%，投資10年、20年、30年的結果如下表：投資時間資產價值資產比前10年增加10年155.28萬元155.28萬元20年411.03萬元255.75萬元30年832.56萬元422.53萬元努力定期定額投資30年，有機會存到832.56萬元的資產，從20歲開始，在50歲就能達成。

假設以存到1,000萬元為目標複利效果還有另外一種應用，就是越早投資可以越輕鬆達到同一投資目標。

舉例來說，1,000萬元的資產，以年配息率5%來看，每年可領50萬元配息，等於每月有超過4萬元的生活費，是個不錯的目標。

假設想在60歲存到1,000萬元，越年輕開始，所需要投資的金額越低，也就是能越輕鬆達成。

單筆投資開始年齡所需資金20歲142.05萬元30歲231.38萬元40歲376.89萬元20歲開始投資的話，只要142.05萬元就可以在60歲達到投資目標了，相對於40歲才開始需要376.89萬，兩者相差 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 張貼留言 Readmore» 何謂有效利率(effectiveinterestrate)？ 6月24,2021 有效利率(effectiveinterestrate)就是將名目利率分割領息週期後，將複利效果納入計算後的利率。

回到「金融分析」頁面每季領息舉利來說，存款1年，名目年利率為6%，如果每季發利息，名目季利率就是6%/4=1.5%，再把每季的配息拿去定存，形成複利效果，一年後的本金加利息是100(1+0.015)^4=106.14元，減去本金100元(106.14-100=6.14)，賺得利息6.14元，除以本金100元，等於0.0614，因此，考量每季將利息投入定存產生的複利效果後，實際利率應為6.14%，不是6%。

換成每月領息如果每月發利息，名目月利率就是6%/12=0.5%，再將配息定存，形成複利效果，一年後的本金加利息是100(1+0.005)^12=106.17元，減去本金100元(106.17-100=6.17)，賺得利息6.17元，除以本金100元，等於0.0617，因此，考量每月將利息投入定存產生的複利效果後，實際利率應為6.17%。

將領息間距切割到無限小名目年利率不變，領息次數越多，有效年利率就越高。

假設名目年利率為6%，各領息次數的有效年利率如下表：領息次數有效年利率(%)1626.0946.1466.15126.171206.18無限次6.18連續複利(compoundedcontinuously)將領息次數增加到無限多次，就像每秒都領一點利息，稱為連續複利(compoundedcontinuously)。

公式如下：FV=PV*e^rtFV=終值、 PV=現值、r=有效利率、t=時間長度公式證明：連續複利公式有趣的地方是，有效利率跟時間長度的乘積(rt)就是計算終值的參數，舉例來說，用5%有效年利率存2年結果等於用10%有效年利率存1年。

這種特性可以用在許多金融數學的算式裡，算是變動利率下債券價格評估及股價走勢預測等。

可參考：利率變動下，終值(futurevalue)計算方式 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 張貼留言 Readmore» 關於我自己 Hardworkinginvestor 瀏覽簡介 封存 五月20227 四月202210 三月20225 二月20227 一月20223 十二月202112 十一月202116 九月202111 八月202153 七月202172 六月202147 五月20211 顯示更多 顯示較少 標籤 0050 0056 口說 升息 心手 水電 台股 打掃整理 生活 用水 多頭 存股 利率 投資 投資成本 投資建議 旱象 股利 股票 育兒 金融數學 長期 長線 省錢 科技 美股 美債 英文學習 風險管控 風險管控，其權 個人經歷 財報分析 退休 退休日誌 退休生活 配息 基金 梅雨 理財規劃 產業 產業分析 通膨 部落格經營 期權 無風險利率 稅 程式語言 筆電 統計 買房 貸款 黃金 債券 匯率 經濟學 網路賺錢 標普 模擬器 賣書 機率 親子 選擇權 聯準會 聯盟行銷 賺錢 避險 Blogger缺點 Blogger教學 Chart.js ETF Fed GoogleAdsense GoogleAnalytics GoogleSearchConsole javascript SEO WordPress教學 YouTube頻道經營 顯示更多 顯示較少