数学漫谈｜| 赌徒破产问题 - 网易

今天要介绍的赌徒破产问题，也是早期数学家在思考的一个和赌博相关的概率问题。

我们常听说“十赌九输”，这句话的 ... 网易首页 应用 网易新闻 网易公开课 网易红彩 网易严选 邮箱大师 网易云课堂 快速导航 新闻 国内 国际 图片 评论 军事 王三三 体育 NBA CBA 综合 中超 国际足球 英超 西甲 意甲 娱乐 明星 图片 电影 电视 音乐 稿事编辑部 娱乐FOCUS 财经 股票 行情 新股 金融 基金 商业 理财 汽车 购车 行情 车型库 新能源 行业 科技 通信 IT 互联网 特别策划 网易智能 时尚 亲子 艺术 手机 / 数码 移动互联网 惊奇科技 易评机 房产 / 家居 北京房产 上海房产 广州房产 全部分站 楼盘库 家具 卫浴 旅游 户外 美食 专题 教育 移民 留学 外语 高考 查看网易地图 登录 注册免费邮箱 注册VIP邮箱（特权邮箱，付费） 免费下载网易官方手机邮箱应用 安全退出 移动端 网易公开课 TED 中国大学视频公开课 国际名校公开课 赏课·纪录片 付费精品课程 北京大学公开课 英语课程学习 网易严选 新人特价 9.9专区 新品热卖 人气好物 居家生活 服饰鞋包 母婴亲子 美食酒水 支付 一卡通充值 一卡通购买 我的网易支付 网易智造 网易跨境支付 邮箱 免费邮箱 VIP邮箱 企业邮箱 免费注册 客户端下载 网易首页>网易号>正文 申请入驻 数学漫谈｜|赌徒破产问题 2022-01-2800:40:38　来源:不犹豫  举报 0 分享至 用微信扫码二维码 分享至好友和朋友圈 在历史上，有很长的一段时间里面，数学家们都没研究过概率。

数学史中，研究概率的起源其实是赌博，所以当我们学习probability时，有许多问题都是关于扔硬币、掷骰子和扑克牌。

最早在16世纪，数学家卡尔达诺(1501-1576)，他深陷赌博不可自拔，长达25年。

他在自传中如此写道：那段时间里，我并不是“时不时”参与赌博，说来可耻，我是每天都在赌博。

他甚至留下如此的名言：“赢得赌博最好的办法，就是完全不参加赌博。

”卡尔达诺写过一本关于赌博的入门书，里面涉及许多概率的计算。

但其中有不少算法是错误的，数学史并不把他当作数学中概率论的创始人。

这告诉我们，连有名的数学家都能在概率的运算大量犯错了，那我们初学概率时，题算错也是情有可原的！今天要介绍的赌徒破产问题，也是早期数学家在思考的一个和赌博相关的概率问题。

我们常听说“十赌九输”，这句话的意思当然不是说赌徒在赌博中的每一局胜率都只有10%，而是说：如果你一赌再赌，不知节制，很大可能性终究是输钱的。

今天要介绍的赌徒破产问题，可以说是“十赌九输”的数学证明。

赌徒破产问题要说的意思是：任何一个拥有有限赌本的赌徒，只要长期赌下去，必然有一天会输个精光。

这是因为：即使一开始赢得多，总是一定有输回来的概率。

但输光了，却没有再赢回来的资本。

值得注意的是，在赌徒破产问题中，并没有讨论到赌徒的单局胜率多大。

无论赌徒单局胜率多高，只要不是100%的胜率（当然实际上也不可能，那样就不叫赌博了），那么必然会在足够多的局数之后把资本输光。

为了简化讨论，让我们先考虑下面这问题：问题赌徒A与赌徒B分别持有m、n份筹码。

每一局输的人要把一份筹码交给对方，两人胜率皆为0.5。

游戏一直进行到其中一方没有筹码为止，求A获胜（对方破产）的概率。

先讲结论：A获胜的概率为分母为两人筹码总和，分子为自己筹码数。

要计算出这结果并不容易，而且冗长。

如果你学过期望值，那么这里附上一个比较高超而简便的计算：因为双方胜率各半，这是个公平赌局，因此就A而言，无论玩几局之后，他的手上筹码期望值等于初始的m。

这样我们就可以依据此思路列式，假设A获胜的概率为P，则游戏终止时手上筹码期望值为如刚刚所说，这等于初始手上筹码数m，所以我们设些具体数字来看：两人对赌，每局皆是公平赌局，拥有越多筹码的人，越有可能最终获胜。

以上讨论的是两赌徒对赌的情况，那如果是庄家与赌徒呢？一般赌场的资本都是非常雄厚的，远远超过我们手上的资金。

按照上面的结论，假设是公平赌局，若A手上筹码数m，赌场资本数n远远大于m，随着你一赌再赌，输钱想翻身、赢钱想继续应，不断赌下去，最后输光筹码的机率为若我们假设赌场的资本为无限大，那么赌徒输光的机率就是1了！更不用说，赌场怎么可能让你的单局胜率是0.5，实际上单局胜率应该是更低的。

这也是赌场为什么能赚钱，你玩的是概率，靠幸运赚钱；而赌场玩的是人性，他们靠着庞大资本，只要大家难以自制，赌场就赚钱。

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