單調收斂定理- 維基百科，自由的百科全書

1 單調實數序列的收斂性. 1.1 定理; 1.2 證明 · 2 單調級數的收斂性. 2.1 定理 · 3 勒貝格單調收斂定理. 3.1 定理; 3.2 證明 · 4 參見 · 5 注釋 ... 單調收斂定理 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 在數學中，有許多定理稱為單調收斂定理；這裡我們介紹一些主要的例子。

目次 1單調實數序列的收斂性 1.1定理 1.2證明 2單調級數的收斂性 2.1定理 3勒貝格單調收斂定理 3.1定理 3.2證明 4參見 5注釋 單調實數序列的收斂性[編輯] 定理[編輯] 如果ak是一個單調的實數序列（例如ak ≤ak+1），則這個序列具有極限（如果我們把正無窮大和負無窮大也算作極限的話）。

若且唯若序列是有界的，這個極限是有限的。

證明[編輯] 我們證明如果遞增序列 ⟨ a n ⟩ {\displaystyle\langlea_{n}\rangle} 有上界，則它是收斂的，且它的極限為 sup n { a n } {\displaystyle\sup_{n}\{a_{n}\}} 。

由於 { a n } {\displaystyle\{a_{n}\}} 非空且有上界，因此根據實數的最小上界公理， c = sup n { a n } {\displaystylec=\sup_{n}\{a_{n}\}} 存在，且是有限的。

現在，對於每一個 ε > 0 {\displaystyle\varepsilon>0} ，都存在一個 a N {\displaystylea_{N}} ，使得 a N > c − ε {\displaystylea_{N}>c-\varepsilon} ，否則 c − ε {\displaystylec-\varepsilon} 是 { a n } {\displaystyle\{a_{n}\}} 的一個上界，這與 c {\displaystylec} 為最小上界 sup n { a n } {\displaystyle\sup_{n}\{a_{n}\}} 的事實矛盾。

於是，由於 ⟨ a n ⟩ {\displaystyle\langlea_{n}\rangle} 是遞增的，對於所有的n>N，都有 | c − a n | = c − a n ≤ c − a N < ε {\displaystyle|c-a_{n}|=c-a_{n}\leqc-a_{N} 0 {\displaystyle\epsilon>0} ，並定義可測集合的序列： B n = { x ∈ B : f n ( x ) ≥ 1 − ϵ } . {\displaystyleB_{n}=\{x\inB:f_{n}(x)\geq1-\epsilon\}.} 根據積分的單調性，可以推出對於任何的 n ∈ N {\displaystylen\in\mathbb{N}} ，都有： μ ( B n ) ( 1 − ϵ ) = ∫ ( 1 − ϵ ) 1 B n d μ ≤ ∫ f n d μ {\displaystyle\mu(B_{n})(1-\epsilon)=\int(1-\epsilon)1_{B_{n}}d\mu\leq\intf_{n}d\mu} 根據 lim j f j ( x ) ≥ g k ( x ) {\displaystyle\lim_{j}f_{j}(x)\geqg_{k}(x)} 的假設，對於足夠大的n，任何B內的x都將位於 B n {\displaystyleB_{n}} 內，因此： ⋃ n B n = B {\displaystyle\bigcup_{n}B_{n}=B} 。

所以，我們有： ∫ g k d μ = ∫ 1 B d μ = μ ( B ) = μ ( ⋃ n B n ) . {\displaystyle\intg_{k}d\mu=\int1_{B}d\mu=\mu(B)=\mu(\bigcup_{n}B_{n}).} 利用測度的單調性，可得： μ ( ⋃ n B n ) = lim n μ ( B n ) ≤ lim n ( 1 − ϵ ) − 1 ∫ f n d μ {\displaystyle\mu(\bigcup_{n}B_{n})=\lim_{n}\mu(B_{n})\leq\lim_{n}(1-\epsilon)^{-1}\intf_{n}d\mu} 取 k → ∞ {\displaystylek\rightarrow\infty} ，並利用這對任何正數 ϵ {\displaystyle\epsilon} 都正確的事實，定理便得證。

參見[編輯] 無窮級數 勒貝格控制收斂定理 注釋[編輯] ^JYeh.Realanalysis.Theoryofmeasureandintegration.2006.  ^ErikSchechter.21.38.AnalysisandItsFoundations.1997.  取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=单调收敛定理&oldid=62963273」 分類：​微積分測度論級數數學定理 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 DeutschEnglishFrançaisעבריתItaliano日本語한국어NederlandsPolskiPortuguêsРусскийSvenskaУкраїнська粵語 編輯連結